Економетрика байєсівського підходу до методології вивчення подій

Дослідження подій широко поширені в економіці та фінансах, щоб визначити вплив події на ціну акцій, але вони майже завжди базуються на частоталістичних міркуваннях. Регресія OLS - протягом еталонного періоду, що відрізняється від вікна події - зазвичай використовується для визначення параметрів, необхідних для моделювання нормальної віддачі для активу. Потім визначається статистична значущість сукупних аномальних повернень ( ) на активі після події протягом визначеного вікна події від до . Тест гіпотези використовується для того, щоб визначити, чи є ці віддачі суттєвими і, таким чином, справді ненормальними чи ні. Таким чином: $\text{CAR}$ $i$ $T_1$ $T_2$

$H_0 : \text{CAR}_i = 0$ , де

$\text{CAR}_i = \sum_{t=T_1}^{T_2} \text{AR}_{i,t} = \sum_{t=T_1}^{T_2} \left( r_{i,t} -\mathbb{E}[r_{i,t}] \right)$ і

$\mathbb{E}[r_{i,t}]$ - повернення активу, передбачене моделлю.

Якщо наша кількість спостережень достатньо велика, ми можемо вважати асимптотичну нормальність розподілу прибутку активів, але це може бути не підтверджено для меншого розміру вибірки.

Можна стверджувати, що через це одностабільні дослідження, що мають поодинокі події (як це потрібно, наприклад, у судових процесах) повинні дотримуватися байєсівського підходу, тому що припущення про нескінченно багато повторень набагато "далі від перевірки", ніж у випадку декількох фірм. І все ж, частістський підхід залишається загальною практикою.

Враховуючи дефіцитну літературу з цього приводу, моє питання полягає в тому, як найкраще підійти до дослідження подій - аналогічно методиці, викладеній вище та узагальненій у MacKinlay, 1997 - за допомогою байєсівського підходу.

Хоча це питання виникає в контексті емпіричних корпоративних фінансів, мова йде дійсно про економетрику байесівської регресії та висновку, а також про відмінності в міркуванні частолістського та байєсівського підходів. Конкретно:

Як мені найкраще підходити до оцінки параметрів моделі за допомогою байєсівського підходу (якщо припустити теоретичне розуміння байєсівської статистики, але мало досвіду в її використанні для емпіричного дослідження).
Як я перевіряю на статистичну значимість, коли обчислюються сукупні аномальні віддачі (використовуючи звичайні показники з моделі)?
Як це можна реалізувати в Matlab?

bayesian econometrics finance

— Костянтин
джерело

(1.) простий: використовуйте лінійну регресію Баєса . (2.) є більш хитрою, тому що перевірка значимості - не баєсівська річ. Єдине, що можна зробити - порівняти ймовірність різних моделей, і не є основою моделі, оскільки не є параметром моделі. Яка мета ? Які рішення приймаються на його основі?

CAR = 0

$\text{CAR} = 0$

CAR

$\text{CAR}$

CAR

$\text{CAR}$

— Енді Джонс

Я шукаю докази на підтвердження мого припущення про те, що досліджувана подія впливає на ціну акцій (у цьому випадку відрізняється від нуля, оскільки вона обчислюється під час вікна події відносно нормальної віддачі, яка є обчислюється за референтний період до події). Мене цікавить, чи підтримують дані гіпотезу про те, що дійсно існує ненульовий а також його величина. Я усвідомлюю, що статистична значимість насправді не є предметом байєсівської статистики, але яку інтерпретацію пропонує цей метод? Чи можу я застосувати еквівалент тестування гіпотез?

C A R

$CAR$

C A R

$CAR$

— Константин

Якщо ви хочете стверджувати, що баєсовський підхід більше застосовний до малих вибірок розміром , то неминуче попереднє буде говорити занадто голосно з такою вибіркою.

n = 1

$n=1$

— Стаск

Чи не можу я використовувати неінформативну попередню?

— Константин

Відповіді:

Як згадувалося в коментарях, модель, яку ви шукаєте, - байєсова лінійна регресія . І оскільки ми можемо використовувати BLR для обчислення заднього прогнозного розподілу для будь-якого часу , ми можемо числово оцінити розподіл . $p(r_t|t, \mathcal{D}_\text{ref})$ $t$ $p(\text{CAR}|\mathcal{D}_\text{event}, \mathcal{D}_\text{ref})$

Справа в тому, що я не думаю, що розподіл по - це те, чого ти справді хочеш. Безпосередня проблема полягає в тому, що має нульову ймовірність. Основна проблема полягає в тому, що "байєсівська версія тестів гіпотез" порівнює моделі через їх фактор Байєса , але це вимагає, щоб ви визначили дві конкуруючі моделі. І не є моделями (або принаймні, вони не є моделями без надзвичайно неприродного жонглювання числом). $\text{CAR}$ $p(\text{CAR} = 0|\mathcal{D}_\text{event}, \mathcal{D}_\text{ref})$ $\text{CAR} = 0, \text{CAR} \neq 0$

З того, що ви сказали в коментарях, я думаю, що ви насправді хочете відповісти

Чи та пояснюються краще за тією ж моделлю чи різними? $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$

який має акуратну байєсівську відповідь: визначте дві моделі

$M_0$ : всі дані в черпаються з того самого BLR. Щоб обчислити граничну ймовірність цієї моделі, слід обчислити граничну ймовірність придатності BLR до всіх дані. $\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}$ $p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_0)$
$M_1$ : дані в та черпаються з двох різних BLR. Щоб обчислити граничну ймовірність цієї моделі, слід встановити BLRs до та незалежно (хоча використовуючи ті ж гіперпараметри!), то візьміть добуток двох граничних ймовірностей BLR. $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$ $p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_1)$ $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$

Зробивши це, можна потім розрахувати коефіцієнт Байєса

\frac{p (D_{ref}, D_{event} | M_{1})}{p (D_{ref}, D_{event} | M_{0})}

$\frac{p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_1)}{p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_0)}$

вирішити, яка модель є більш правдоподібною.

— Енді Джонс
джерело

Я не думаю, що окрема модель періоду події була б безпосередньо застосовна до мого конкретного дослідницького питання, оскільки немає іншого фактора ризику, який я міг би додати, щоб пояснити повернення під час вікна події. Я розглядаю подію як занепокоєння щодо нормальної віддачі від моєї моделі ціноутворення активів, тому порівняння двох моделей насправді неможливо. Неможливо побудувати інтервал довіри для ? Таким чином я міг би вивчити, чи лежить 0 протягом певного інтервалу щодо оцінки ML, ні?

C A R

$CAR$

— Константин

Байєсівський варіант довірчих інтервалів - це достовірний інтервал , і так, ви можете використовувати розподіл щоб побудувати його. Це не тест гіпотези.

CAR

$\text{CAR}$

— Енді Джонс

Я думаю, що я, можливо, погано пояснив одну і ту ж модель / різні моделі - вище, те, що я мав на увазі під "іншою моделлю", було "різними параметрами". У один набір параметрів використовується для пояснення всіх даних. У один набір параметрів використовується для пояснення навчальних даних, а інший для пояснення даних тесту. Це справедливе порівняння, оскільки, хоча має вдвічі більше параметрів, які він може відповідати даним (збільшуючи свою ймовірність), він черпає вдвічі більше параметрів від попереднього (що карає його граничну ймовірність).

M_{0}

$M_0$

M_{1}

$M_1$

M_{1}

$M_1$

— Енді Джонс

Гаразд, я розумію. Це справді здається елегантним. Як саме я б вказав дві моделі? Чи можете ви порадити будь-яку літературу чи пов'язані з нею поняття для конкретного вивчення?

— Константин

Хоча це суперечливо, є таке поняття, як байєсівська точка з нульовим або гострим тестом на гіпотезу. Це просто співвідношення простих коефіцієнтів із переривчастим пріоритетом на . Це суперечливо, оскільки більшість моделей не дає хорошого обґрунтування суміші безперервних та дискретних пріорів. Дослідження подій - можливий виняток із цього правила.

{CAR}_{i} = 0

$\text{CAR}_i=0$

— jayk

Ви не можете проводити дослідження події з однією фірмою.

На жаль, вам потрібні дані панелі для будь-якого дослідження подій. Дослідження подій зосереджуються на прибутку за окремі часові періоди до і після подій. Без численних твердих спостережень за часовий період до і після події неможливо відрізнити шум (специфічна зміна фірми) від наслідків події. Навіть лише у кількох фірмах шум буде панувати над подією, як вказує StasK.

При цьому, за допомогою групи багатьох фірм ви все ще можете виконувати байєсівські роботи.

Як оцінити нормальну і ненормальну віддачу

Я припускаю, що модель, яку ви використовуєте для нормальної віддачі, виглядає приблизно як стандартна арбітражна модель. Якщо цього немає, ви повинні мати можливість адаптувати решту цього обговорення. Ви хочете збільшити свою "звичайну" регресію повернення за допомогою серії фіктивних дат щодо дати оголошення, : $S$

r_{i t} = α_{i} + γ_{t - S} + r_{m, t}^{T} β_{i} + e_{i t}

$r_{it}=\alpha_{i}+\gamma_{t-S}+r_{m,t}^T\beta_i+e_{it}$

EDIT: Має бути, що включений, лише якщо . Одна з проблем цієї проблеми підходить до того, що дані будуть поінформовані даними до та після події. Це не відповідає точно традиційним дослідженням подій, де очікувані прибутки розраховуються лише до початку події. $\gamma_{s}$ $s>0$ $\beta_i$

Цей регрес дозволяє говорити про щось подібне до типу серіалу CAR, який ми зазвичай бачимо, де ми маємо графік середніх аномальних повернень до та після події, можливо, деякі стандартні помилки навколо неї:

введіть тут опис зображення

( безсоромно взято з Вікіпедії )

Вам потрібно буде придумати структуру розподілу та помилок для електронної імовірно), яка, як правило, розподілена, з деякою структурою дисперсії-спів-дисперсії. Потім можна встановити попередній розподіл для , та та запустити лінійну регресію Баєса, як було зазначено вище. $e_{it}$ $\alpha_{i}$ $\beta_i$ $\gamma_s$

Вивчення ефектів оголошення

На дату оголошення доцільно думати, що певні повернення ( ). Щойно на ринок була випущена нова інформація, тому реакції, як правило, не є порушенням будь-якого виду арбітражу чи теорем ефективності. Ні ви, ні я не знаємо, які ефекти оголошень, ймовірно, будуть. Не завжди багато теоретичних вказівок. Тому тестування може зажадати набагато конкретніших знань, ніж ми маємо в наявності (див. Нижче). $\gamma_0\neq 0$ $\gamma_0=0$

Але частиною привабливості байєсівського аналізу є те, що ви можете вивчити весь задній розподіл . Це дозволяє відповісти дещо цікавішими питаннями на кшталт "Наскільки ймовірним є те, що надлишкові доходи оголошень негативні?" Тож для ненормальних повернень на дату оголошення я б запропонував відмовитися від строгих тестів на гіпотези. Ти їх все одно не цікавиш - з більшістю подій, які ти хочеш дізнатися, якою може бути цінова реакція на оголошення, а не те, що це не так! $\gamma_0$

У цьому ключі одним цікавим резюме ваших може бути ймовірність того, що . Іншою може бути ймовірність того, що вище, ніж різноманітні порогові значення, або кванти заднього розподілу для . Нарешті, ви завжди можете побудувати графік задньої частини разом із середньою, медіаною та режимом. Але знову ж таки, строгі тести на гіпотези можуть бути не такими, якими ви хочете. $\gamma_0\geq 0$ $\gamma_0$ $\gamma_0$ $\gamma_0$

Однак для дат до і після оголошення, суворе тестування гіпотез може зіграти важливу роль, тому що ці показники можна розглядати як випробування ефективності міцної та напівсильної форми

Тестування на порушення ефективності напівсильної форми

Ефективність напівсильної форми та відсутність трансакційних витрат означають, що ціни на акції не повинні продовжувати коригуватися після оголошення події. Це відповідає перетину гострих гіпотез, що . $\gamma_{s> 0}=0$

Байєзкам незручно проводити тести такої форми , які називаються "гострими" тестами. Чому? Давайте на секунду виведемо це з контексту фінансів. Якби я попросив вас створити пріоритет над середнім доходом американських громадян, ви, ймовірно, дасте мені постійний розподіл, над можливими доходами, можливо, досягнувши близько 60 000 . Якщо ви взяли зразок американських доходів і спробували перевірити гіпотезу про те, що середній показник чисельності населення становить рівно ви б використали коефіцієнт Байєса: $\gamma_{s}=0$ $\bar x$ $f$ $X=\{x_i\}_{i=1}^n$ $\$60,000$

P (\bar{x} = $ 60, 000 | X) = \frac{\int_{\bar{x} = $ 60, 000} P (X) f (\bar{x})}{\int_{\bar{x} \neq $ 60, 000} P (X) f (\bar{x})}

$P(\bar{x}=\$60,000|X)=\dfrac{\int_{\bar{x}=\$60,000} P(X) f(\bar{x})}{\int_{\bar{x}\neq \$60,000} P(X) f(\bar{x})}$

Інтеграл зверху дорівнює нулю, тому що ймовірність однієї точки від безперервного попереднього розподілу дорівнює нулю. Інтеграл внизу буде 1, тому . Це відбувається через безперервне попереднє , а не через що-небудь суттєве для характеру байєсівського умовиводу. $P(\bar{x}=\$60,000|X)=0$

Багато в чому тести, які є тестами на ціноутворення активів. Ціни на активи для байесів дивні. Чому це дивно? Тому що, на відміну від мого попереднього надходження доходів, суворе застосування деяких гіпотез щодо ефективності передбачає перехоплення рівно 0 після події. Будь-який позитивний чи негативний - це порушення ефективності напівсильної форми і, можливо, величезна можливість отримання прибутку. Таким чином, дійсний попередній може поставити позитивну ймовірність на . Саме такий підхід застосовують у Харві та Чжоу (1990) . Загалом, уявіть, що у вас є попередня робота з двох частин. З вірогідністю ви вірите в ефективність сильної форми ( $\gamma_{s> 0}=0$ $\gamma_{s>0}$ $\gamma_{s>0} =0$ $p$ $\gamma_{s\neq 0} =0$ ) і з вірогідністю ви не вірите в ефективність сильної форми. За умови знання ефективності сильної форми помилковим, ви вважаєте, що існує постійний розподіл по , . Тоді ви можете побудувати тест фактора Байєса: $1-p$ $\gamma_{s>0}$ $f$

P (γ_{s > 0} = 0 | data) = \frac{P (data | γ_{s > 0} = 0) p}{\int_{γ_{s > 0} \neq 0} P (data | γ_{s > 0}) (1 - p) f (γ_{s > 0})} > 0

$P(\gamma_{s> 0} =0|\text{data}) = \dfrac{P(\text{data}|\gamma_{s> 0}=0)p}{\int_{\gamma_{s> 0}\neq 0} P(\text{data}|\gamma_{s> 0})(1-p)f(\gamma_{s> 0})}>0$

Цей тест працює, тому що, за умови істинності сильної форми, ви знаєте, що . $\gamma_{s>0}=0$ У цьому випадку ваш попередній зараз - це суміш безперервного та дискретного розподілу.

Наявність гострого тесту не виключає використання більш тонких тестів. Ви не можете перевірити розподіл само, як я запропонував для . Це може бути цікавіше, тим більше, що це не залежить від віри, що трансакційні витрати відсутні. Інтервали довіри можуть бути сформовані, і виходячи з ваших переконань щодо трансакційних витрат, ви можете побудувати тести на моделях на основі інтервалів . Слідом за Бравом (2000) ви також можете прогнозувати щільність на основі "нормальної" моделі повернення ( ) для порівняння з фактичною віддачею, як міст між байєсівськими та частотистськими методами. $\gamma_{s> 0}$ $\gamma_{s=0}$ $\gamma_{s>0}$ $\gamma_s=0$

Сукупна аномальна віддача

Все досі було обговоренням ненормальних повернень. Тому я швидко заходжу в автомобіль:

{CAR}_{τ} = \sum_{t = 0}^{τ} γ_{t}

$\text{CAR}_\tau=\sum_{t=0}^\tau \gamma_{t}$

Це близько до середнього кумулятивного аномального прибутку на основі залишків, до яких ви звикли. Ви можете знайти задній розподіл, використовуючи чисельну чи аналітичну інтеграцію, залежно від вашого попереднього. Оскільки немає причин вважати , немає причин вважати , тому я б прихильник того ж аналізу, що і з ефектами оголошення, без різких перевірок гіпотез. $\gamma_0=0$ $\text{CAR}_{t>0}=0$

Як реалізувати в Matlab

Для простої версії цих моделей вам просто потрібна регулярна стара баєсова лінійна регресія. Я не використовую Matlab , але схоже , що є версія тут . Ймовірно, це працює лише з кон'югованими пріорами.

Для більш складних версій, наприклад, тесту на гостру гіпотезу, вам, швидше за все, знадобиться пробовідбірник Гіббса. Мені невідомі будь-які нестандартні рішення Matlab. Ви можете перевірити наявність інтерфейсів до JAGS або BUGS.

— джейк
джерело

Дякую за цю обширну і дуже корисну відповідь! Про ваш перший пункт: Чи це так, навіть якщо мене цікавить лише вплив конкретного законодавства на конкретну фірму (тобто ефект події лише для невеликої кількості фірм $n\geq 1$ )? Якщо в цьому випадку все-таки необхідно збільшити розмір вибірки, то скільки фірм буде потрібно і як я їх відбирати?

— Константин

Дію конкретного законодавства неможливо знайти. Якщо це закон, застосований до (скажімо,) певної галузі, буде важко відокремити тенденції галузі від законодавства. Я б точно запропонував більше 30 фірм, якщо це можливо. Ви завжди можете перевірити, чи сильно відрізняються ваш попередній і задній. Якщо ваша задня частина не сильно відхилилася від попередньої, швидше за все, розмір зразка занадто малий.

— jayk

Чи трапляється ви в змозі надати мені посилання на дослідження події, яке використовує фіктивні змінні для дат до / після події? Мені досі не вдалося знайти цю методику в літературі. Я б дуже цінував це!

— Костянтин

Я жодного разу не бачив, але думаю, що метод має сенс у контексті (із застереженнями, які я його виклав). Альтернативою було б оцінити ваші параметри за датами попереднього оголошення, а потім скористатись задньою частиною, щоб генерувати повернення вперед, як у згаданій вище статті Brav.

— jayk