Цікаве виведення R квадрата

Роки тому я знайшов цю ідентичність шляхом експериментування, граючи з даними та перетвореннями. Пояснивши це моєму професору статистики, він прийшов у наступний клас із підтвердженням на одній сторінці, використовуючи векторні та матричні позначення. На жаль, я втратив папери, які він мені дав. (Це було ще в 2007 році)

Чи може хтось реконструювати доказ?

Дозволяє $(x_i,y_i)$ бути оригінальними точками даних. Визначте новий набір точок даних, обертаючи початковий набір на кут $\theta$ ; назвіть ці пункти $(x'_i,y'_i)$ .

Значення R квадрата вихідного набору точок дорівнює від’ємному добутку похідної по відношенню до $\theta$ природного журналу стандартного відхилення для кожної координати нового набору точок, кожне оцінено в $\theta=0$

$r^2= - \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{x'})\right|_{\theta=0} \right) \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{y'})\right|_{\theta=0} \right)$

regression r-squared

— sheppa28
джерело

Виведення - не особливо цікава вправа символічного маніпулювання. Оскільки

\begin{aligned} {\frac{d x^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = - y, \\ {\frac{d y^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = x, \end{aligned}

$\begin{align} \left.\frac{dx'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=-y,\\ \left.\frac{dy'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=x, \end{align}$ і

s_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$

{\frac{d s_{x^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = - 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{x'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=-2s_{xy}$

{\frac{d s_{y^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{y'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=2s_{xy}$

{\frac{d}{d θ} \ln (s_{x^{'}}) |}_{θ = 0} = - \frac{s_{x y}}{s_{x}^{2}}, {\frac{d}{d θ} \ln (s_{y^{'}}) |}_{θ = 0} = \frac{s_{x y}}{s_{y}^{2}}

$\left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{x'})\right|_{\theta=0} = -\frac{s_{xy}}{s_x^2},\quad \left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{y'})\right|_{\theta=0} = \frac{s_{xy}}{s_y^2}$ і результат випливає.

Мені цікаво знати, як ви придумали таке рівняння, особливо який конкретний експеримент виявив таку особистість.

— Хашаа
джерело

Дякую! Це насправді набагато простіше, ніж його доказ, який я пам’ятаю. Ідентичність з'явилася, просто граючи з даними років тому; для ударів я просто робив обертання, стандартні відхилення, похідні, логарифми, додавання, множення і т. д. Я мав оригінал r ^ 2 бути горизонтальною лінією та графіком будь-якої функції, створеної як функція тети. Іноді вони перетиналися, але під "непарними" кутами; іноді ніколи не перетинався. Потім якось вони перейшли на тета = нуль. Думав, що це цікаво. Випробував його за допомогою інших випадкових даних, і він все ще тримався. Я не бачив, як це працює, але думав, що чітка ідентичність.

— sheppa28