Що це за трюк із додаванням сюди 1?

Я дивився на цю сторінку про реалізацію Монте-Карло тесту Ліллефорса. Я не розумію цього речення:

Існує випадкова помилка в цьому розрахунку від моделювання. Однак через хитрість додавання 1 до чисельника та знаменника при обчисленні значення P це може бути використане прямо, без огляду на випадковість.

Що вони означають під хитрістю додавання 1 до чисельника та знаменника?

Відповідний фрагмент коду тут:

n <- length(x)
nsim <- 4999
d.star <- double(nsim)
for (i in 1:nsim) {
    x.star <- rnorm(n)
    d.star[i] <- fred(x.star)
}
hist(d.star)
abline(v = d.hat, lty = 2)
## simulation-derived P-value
pval <- (sum(d.star > d.hat) + 1) / (nsim + 1)

Пояснення на зазначеній сторінці є

k / n $\Pr(P \le k / n_\text{sim})$$k / n_\text{sim}$

Щоб зрозуміти це, ми повинні подивитися на код, ключовим рядком якого є (значно скорочено)

fred <- function(x) {ks.test(...)$statistic}  # Apply a statistical test to an array
d.hat <- fred(x)                              # Apply the test to the data
d.star <- apply(matrix(rnorm(n*nsim), n, nsim),
                2, fred)                      # Apply the test to nsim simulated datasets
pval <- (sum(d.star > d.hat) + 1) / (nsim + 1)# Estimate a simulation p-value

Основна проблема полягає в тому, що код не відповідає котировці. Як ми можемо їх узгодити? Одна спроба починається з останньої половини пропозиції. Ми можемо інтерпретувати процедуру як таку, що містить такі етапи:

1. Collect незалежно один від одного і однаково розподілені дані відповідно до деякого імовірнісного закону . Застосуйте тестову процедуру (реалізовану в коді як ) для отримання числа . G t T 0 = t ( X 1 , … , X n$X_1, X_2, \ldots, X_n$$G$$t$fred$T_0=t(X_1, \ldots, X_n)$

2. Сформувати з допомогою комп'ютера порівнянних наборів даних, кожен з розміру , в відповідно до нульової гіпотезою з ймовірністю закону . Застосуйте до кожного такого набору даних, щоб створити чисел . n F t N T 1 , T 2 , … , T $N=n_\text{sim}$$n$$F$$t$$N$$T_1,T_2,\ldots,T_N$

3. Обчисліть

   $$P = \left(\sum_{i=1}^N I(T_i \gt T_0) + 1\right) / (N+1).$$

   (" " - це функція індикатора, реалізована за допомогою векторного порівняння в коді.) Права частина розуміється випадковою через одночасну випадковість (фактична статистика тесту) та випадковість ( змодельована тестова статистика). T 0 T $I$d.star > d.hat$T_0$$T_i$

Для того, щоб сказати , що дані відповідають нульової гіпотези є твердження , що . Виберіть розмір тесту , . Помноження обох сторін на і віднімання показує, що ймовірність того, що для будь-якого числа є ймовірністю, що не більше з перевищує . Це говорить лише про те, що лежить у верхній частині відсортованого набору всіх тестових статистичних даних. Оскільки (за конструкцією)α 0 < α < 1 N + 1 1 P ≤ α α ( N + 1 ) α - 1 T i T 0 T 0 ( N + 1 ) α N + 1 T 0 T i F ⌊ ( N + 1 ) α ⌋ Pr ( P ≤ α ) = $F=G$$\alpha$$0 \lt \alpha \lt 1$$N+1$$1$$P\le \alpha$$\alpha$$(N+1)\alpha - 1$$T_i$$T_0$$T_0$$(N+1)\alpha$$N+1$$T_0$є незалежним від усіх , коли - безперервний розподіл, цей шанс буде часткою від загальної кількості, представленої цілою частиною ; тобто і це буде рівно рівний - це ціле число ; тобто коли .$T_i$$F$$\lfloor (N+1)\alpha\rfloor$(N+1)αkα=k/(N+1

Це, безумовно, є однією з речей, які ми хочемо відповідати будь-якій величині, яку заслуговує назвати "р-значення": вона повинна мати рівномірний розподіл на . За умови, що є досить великим, так що будь-яка близька до деякої частки форми , цей матиме близьку до рівномірної форми розповсюдження. (Щоб дізнатися про додаткові умови, необхідні для p-значення, будь ласка, прочитайте діалогове вікно, яке я розмістив на тему p-значень. )N + 1 α k / ( N + 1 ) = k / ( n sim + 1 ) $[0,1]$$N+1$$\alpha$$k/(N+1) = k/(n_\text{sim}+1)$$P$

Очевидно, що в цитаті слід використовувати " " замість " ", де б вона не з’явилася.n $n_\text{sim}+1$$n_\text{sim}$

Я вважаю, що тут додається 1 до обох, оскільки спостережувана статистика включена в еталонний розподіл; якщо це так, це через "принаймні настільки ж велику" частину визначення р-значення.

Я точно не знаю, оскільки текст, здається, говорить щось інше, але саме тому я б це зробив.