Як перевірити медіану популяції?

Я маю зразок у 250 одиниць. Розподіл асиметричний. Я хочу перевірити гіпотезу про те, що медіана популяції відрізняється від 3,5, тому я вважаю, що тест на одній вибірці був би доречним. Я знаю, що тест рангу Вілкоксона не підходить, оскільки розподіл не симетричний. Чи доцільно використовувати тестовий знак? Якщо це не так, чи може хтось порекомендувати будь-який інший тест?

Конспект

Кількість даних перевищує $3.5$ має біноміальний розподіл з невідомою ймовірністю $p$. Використовуйте це для проведення біноміального тесту на$p=1/2$ проти альтернативи $p\ne 1/2$.

У решті цієї публікації пояснюється основна модель та показано, як виконувати обчислення. Він надає робочий Rкод для їх виконання. Розширений виклад основної теорії тестування гіпотез представлений у моїй відповіді на тему "Яке значення p-значень та t-значень у статистичних тестах?" .

Статистична модель

Припустимо, що значення досить різноманітні (з невеликими зв'язками на рівні) $3.5$), то, згідно з вашою нульовою гіпотезою, будь-яке випадкове вибіркове значення має а $1/2=50\%$ шанс перевищення $3.5$ (відтоді $3.5$характеризується як середня цінність населення). Припускаючи всіх$250$ значення вибірково і незалежно відбирали, кількість їх перевищувала $3.5$ тому матиме двочлен$(250,1/2)$розповсюдження. Назвемо це число "рахунком"$k$.

З іншого боку, якщо медіана населення відрізняється від $3.5$, шанс випадкового вибіркового значення перевищує $3.5$ буде відрізнятися від $1/2$. Це альтернативна гіпотеза.

Пошук відповідного тесту

Найкращий спосіб відрізнити нульову ситуацію від її альтернатив - це переглянути значення $k$які, швидше за все, під нульовими і менш імовірними за альтернативами. Це значення поблизу$1/2$ з $250$, дорівнює $125$. Таким чином, критична область для вашого тесту складається із значень, відносно далеких від$125$: близько до $0$ або близько до $250$. Але як далеко від цього$125$ вони повинні бути вагомим доказом цього $3.5$ чи не посереднє населення?

Це залежить від вашого рівня значущості: це називається розміром тесту , який часто називають$\alpha$. Згідно з нульовою гіпотезою, вона повинна бути близькою - але не більше ніж -$\alpha$ Шанс, що $k$ буде в критичній області.

Зазвичай, коли у нас немає попередніх уявлень про те, яка альтернатива буде застосовуватися - медіана більша або менша $3.5$- ми намагаємось побудувати критичну область так, щоб була половина цього шансу, $\alpha/2$, що $k$ низька, а друга половина, $\alpha/2$, що $k$висока. Тому що ми знаємо розподіл$k$ згідно з нульовою гіпотезою, цієї інформації достатньо для визначення критичної області.

Технічно існує два загальних способи проведення обчислення: обчислити біноміальні ймовірності або наблизити їх до нормального розподілу.

Розрахунок з біноміальними ймовірностями

Використовуйте функцію відсоткового пункту (квантиля). В R, наприклад, це називається qbinomі буде викликатися як

alpha <- 0.05 # Test size
c(qbinom(alpha/2, 250, 1/2)-1, qbinom(1-alpha/2, 250, 1/2)+1)

Вихід для $\alpha=0.05$ є

109 141

Це означає, що критична область містить усі низькі значення $k$ між (і включаючи) $0$ і $109$, разом з усіма високими значеннями $k$ між (і включаючи) $141$ і $250$. Як перевірку, ми можемо попросити Rобчислити ймовірність, що kлежить у цій області, коли нуль відповідає дійсності:

pbinom(109, 250, 1/2) + (1-pbinom(141-1, 250, 1/2))

Вихід є $0.0497$, дуже близький до - але не більше ніж ...$\alpha$себе. Оскільки критична область повинна закінчуватися цілою кількістю, зазвичай не можливо зробити цей фактичний розмір тесту точно рівним номінальному тестовому розміру$\alpha$, але в цьому випадку ці два значення справді дуже близькі.

Розрахунок з нормальним наближенням

Середнє значення двочлена$(250, 1/2)$ поширення є $250\times 1/2=125$ і його дисперсія є $250\times 1/2\times (1-1/2) = 250/4$, зробивши його стандартне відхилення рівним $\sqrt{250/4}\approx 7.9$. Ми замінимо двочленний розподіл на нормальний розподіл. Стандартний нормальний розподіл має$\alpha/2=0.05/2$ її ймовірність менше, ніж $-1.95996$, як обчислюється Rкомандою

qnorm(alpha/2)

Оскільки нормальні розподіли симетричні, він також має $0.05/2$ її ймовірність більша, ніж $+1.95996$. Тому критична область складається з значень$k$ що більше $1.95996$ стандартні відхилення від $125$. Обчисліть ці пороги: вони рівні$125 \pm 7.9\times 1.96 \approx 109.5, 140.5$. Розрахунок можна проводити одним махом як

250*1/2 + sqrt(250*1/2*(1-1/2)) * qnorm(alpha/2) * c(1,-1)

З тих пір $k$ повинно бути ціле число, ми бачимо, що воно потрапить у критичну область, коли є $109$ або менше або $141$або більше. Ця відповідь ідентична відповіді, отриманій за допомогою точного біноміального обчислення. Зазвичай це відбувається, коли$p$ ближче $1/2$ ніж це $0$ або $1$, розмір вибірки від середнього до великого (десятки і більше) та $\alpha$ не дуже малий (кілька відсотків).

Цей тест, оскільки він не передбачає нічого щодо населення (крім того, що він не має великої кількості ймовірностей, орієнтованих прямо на його медіану), не настільки потужний, як інші тести, які роблять конкретні припущення щодо популяції. Якщо тест все-таки відхиляє нуль, не потрібно турбуватися про відсутність живлення. В іншому випадку вам доведеться зробити делікатні компроміси між тим, що ви готові взяти на себе, і тим, що ви можете зробити висновок щодо населення.