Як знайти

Як я можу це вирішити? Мені потрібні проміжні рівняння. Можливо, відповідь $-tf(x)$ .

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ]$

$f(x)$ - функція щільності ймовірності.

$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$ $\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = 1$

джерело: http://www.actuaries.jp/lib/collection/books/H22/H22A.pdf p.40

Спробуйте проміжні рівняння нижче:

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x] = \frac{d}{d t} [{[x F (x)]}_{t}^{\infty} - \int_{t}^{\infty} F (x) d x] ? ?

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ] = \frac{d}{dt} \left [\left [xF(x) \right ]_t^\infty - \int_t^\infty F(x)\,dx \right ]??$

\frac{d}{d t} \int_{t}^{a} f (x) d x = - \frac{d}{d t} \int_{a}^{t} f (x) d x = - \frac{d}{d t} (F (t) - F (a)) = F^{'} (t) = f (t)

$\frac{d}{dt} \int_t^a f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} \int_a^t f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} (F(t)-F(a))=F'(t)=f(t)$

— Хіроакі Мачіда
джерело

Ви маєте на увазі ? Можливо,Або ви маєте на увазі ?

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$

- t f (t) .

$-tf(t).$

\frac{d}{d t} [\frac{\int_{t}^{\infty} x f (x) d x}{1 - F (t)}]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\dfrac{\int_t^\infty xf(x)~dx}{1-F(t)} \right ]$

— Генрі

Використовуйте фундаментальну теорему обчислення

— Генріх

Розглянемо примітивний з , тоді легко вивести.

G

$G$

x \mapsto x f (x)

$x \mapsto xf(x)$

\int_{t}^{\infty} x f (x) d x = G (\infty) - G (t)

$\int_t^\infty xf(x)dx=G(\infty)-G(t)$

— Стефан Лоран

Будь ласка, додайте self-studyтег і прочитайте його wiki .

— Glen_b -Встановіть Моніку

Якщо ви навчаєтесь на іспит, то всебічне рішення не для вас. Питання самонавчання покликані змусити людину, яка задає це питання, встигнути вирішити проблему самостійно.

— Сіань

Відповіді:

За визначенням, похідна ( якщо вона існує ) є межею коефіцієнта різниці

\frac{1}{h} (\int_{t + h}^{\infty} x f (x) d x - \int_{t}^{\infty} x f (x) d x) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x

$\frac{1}{h}\left(\int_{t+h}^\infty x f(x) dx - \int_t^\infty x f(x) dx\right) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx$

як . $h\to 0$

Якщо припустимо, що є неперервним протягом інтервалу при досить малих , також буде безперервним протягом цього інтервалу. Тоді теорема середнього значення стверджує, що існує деякий між і для якого $f$ $[t, t+h)$ $h\gt 0$ $x f$ $h^{*}$ $0$ $h$

- (t + h^{*}) f (t + h^{*}) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x .

$-(t+h^{*})f(t+h^{*}) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx.$

Оскільки , обов'язково , а безперервність поблизу тоді означає, що ліва сторона має межу, рівну . $h\to 0$ $h^{*}\to 0$ $f$ $t$ $-t f(t)$

(Приємно бачити, що цей аналіз не вимагає міркувань про існування оригінального неправильного інтеграла .) $\int_t^\infty x f(x) dx$

Однак, навіть якщо розподіл має щільність , ця щільність не повинна бути безперервною. У точках розриву коефіцієнт різниці матиме різні ліві та праві межі: похідна там не існує. $f$

Це не питання, яке можна відкинути як деяку таємничу математичну "патологію", яку практикуючі можуть ігнорувати. У PDF-файлах багатьох поширених і корисних дистрибутивів є точки припинення. Наприклад, уніфікований дистрибутив має розривний PDF у форматі і ; дистрибутив Gamma має розривний PDF при коли (який включає всюдисущий Експоненційний розподіл та деякі розподіли ); і так далі. Тому важливо не стверджувати без ретельної кваліфікації, що відповідь - лише : це було б помилкою. $(a,b)$ $a$ $b$ $(a,b)$ $0$ $a\le 1$ $\chi^2$ $-t f(t)$

— дзижчати
джерело

Дуже невеликий додаток: Є випадки, коли інтеграл є диференційованим, навіть коли

не є безперервним. Нехай

для

. Тоді поблизу 0,

для

f (x)

$f(x)$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \leq 0

$x\leq 0$

f (x) = 1

$f(x)=1$

0 < x < 1

$0<x<1$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \geq 2

$x\geq 2$

F (x) = x^{2} / 2

$F(x)=x^2/2$

і 0 для

, що ідеально диференціюється при

x \geq 0

$x\geq 0$

x < 0

$x<0$

x = 0

$x=0$

— Алекс Р.

@Alex Близько

, а НЕ

. Розглянемо фундаментальну теорему обчислення.

0^{+}

$0^{+}$

F (x) = x

$F(x)=x$

x^{2} / 2

$x^2/2$

— whuber

Вибачте за непорозуміння! Я визначаю

F (x) := \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(x) := \int_{-\infty}^x tf(t)dt$

— Алекс Р.

@Alex Ваш інтегрант

є безперервним біля нуля, тому я не бачу, який приклад ви представляєте або що він показує.

t f (t)

$tf(t)$

— whuber

Чудова деривація (+1) - це, можливо, нічого не варто, що цей результат є випадком інтегрального правила Лейбніца .

— Бен -

Вирішено ...

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty)-G(t) \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty) \right ] - \dfrac{d}{dt} \left [G(t) \right ]$ $= \displaystyle 0-tf(t)$

Дякую вам всім!!!

— Хіроакі Мачіда
джерело

Що таке функція

? Чому похідна

дорівнює 0?

G (t)

$G(t)$

G (\infty)

$G(\infty)$

— Владислав Довгалець