Рішення для використання 2.2a.16 "Надійна статистика: підхід, заснований на функціях впливу"

На сторінці 180 надійної статистики: підхід, заснований на функціях впливу, знаходимо таке питання:

16: Покажіть, що для інваріантних оцінок розташування завжди . Знайдіть відповідну верхню межу точки кінцевої вибірки обох випадках, коли непарне або парне. $\varepsilon^*\leq\frac{1}{2}$ $\varepsilon^*_n$ $n$ $n$

Друга частина (після періоду) насправді тривіальна (з огляду на першу), але я не можу знайти спосіб довести першу частину (речення) питання.

У розділі книги, що стосується цього питання, можна знайти (p98):

Визначення 2: Точка зриву кінцевої вибірки оцінювача на вибірці задається: $\varepsilon^*_n$ $T_n$ $(x_l,\ldots, x_n)$

$ε_{n}^{*} (T_{n}; x_{i}, \dots, x_{n}) := \frac{1}{n} max {m : max_{i_{1}, \dots, i_{m}} sup_{y_{1}, \dots, y_{m}} | T_{n} (z_{1}, \dots, z_{n}) | < \infty}$ $\varepsilon^*_n(T_n;x_i,\ldots,x_n):=\frac{1}{n}\max\{m:\max_{i_1,\ldots,i_m}\sup_{y_1,\ldots,y_m}\;|T_n(z_1,\ldots,z_n)|<\infty\}$
де вибірку $(z_1,\ldots,z_n)$ отримують шляхом заміни $m$ точок даних $x_{i_1},\ldots,x_{i_m}$ на довільні значення $y_1,\ldots,y_m.$

Саме формальне визначення працює майже на сторінці, але може розглядатися як Хоча явно не визначено, одна можемо здогадатися, що інваріантна локація означає, що повинен задовольняти $\varepsilon^*$

ε^{*} = lim_{н \to \infty} ε_{н}^{*}

$\varepsilon^*=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\varepsilon^*_n$

T_{n}

$T_n$

Т_{н} (х_{1}, \dots, х_{н}) = Т_{н} (х_{1} + c, \dots, х_{н} + c), для усіх c \in R

$T_n(x_1,\ldots,x_n)= T_n(x_1+c,\ldots,x_n+c), \text{ for all } c\in \Bbb{R}$

Я (спробуйте) відповідаю на питання Уубера в коментарі нижче. У книзі визначено оцінювач - це кілька сторінок, починаючи з p82, я намагаюся відтворити основні частини (я думаю, це відповість на запитання Ваубера): $T_n$

Припустимо, у нас є одновимірні спостереження які є незалежними та однаково розподіленими (iid). Спостереження належать до деякого зразкового простору , який є підмножиною реальної лінії (часто просто дорівнює , тому спостереження може приймати будь-яке значення ). Параметрична модель складається з сімейства розподілів ймовірностей на вибірковому просторі, де невідомий параметр належить до деякого простору параметрів $(X_1,\ldots,X_n)$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $F_\theta$ $\theta$ $\Theta$

...

Ми ідентифікуємо вибірку з її емпіричним розподілом , ігноруючи послідовність спостережень (як це майже завжди робиться). Формально , задається , де , є точкова маса 1 в . В якості оцінювачів ми розглядаємо статистику зі значеннями . У більш широкому сенсі оцінювач може розглядатися як послідовність статистики , по одній для кожного можливого розміру вибірки . В ідеалі спостереження проходять відповідно до члена параметричної моделі $(X_1,\ldots,X_n)$ $G_n$ $G_n$ $(1/n)\sum_{i=1}^n\Delta_{x_i}$ $\Delta_{X}$ $X$ $\theta$ $T_n=T_n(X_1,\ldots,X_n)=T_n(G_n)$ $\{T_n,n\geq 1\}$ $n$ $\{F_\theta;\theta\in\Theta\}$ , але клас усіх можливих розподілів ймовірностей на набагато більший. $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $\mathcal{H}$

Ми розглядаємо оцінки, які є функціоналами [т. для всіх і ] або можуть асимптотично бути замінені функціоналами. Це означає, що ми припускаємо, що існує функціональний [де домен - це набір усіх розподілів для якого визначено ] таким, що вірогідною, коли спостереження виявляються відповідно до справжнього розподілу у . Ми говоримо, що $T_n(G_n)=T(G_n)$ $n$ $G_n$ $T:\mbox{domain}(T)\rightarrow\mathbb{R}$ $T$ $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $T$
$Т_{н} (Х_{1}, \dots, Х_{н}) \underset{н \to \infty}{\to} Т (Г)$ $T_n(X_1,\ldots,X_n)\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}T(G)$ $G$ $\mbox{domain}(T)$ $T(G)$ це асимптотическое значення на . $\{T_n;n\geq 1\}$ $G$

...

У цьому розділі ми завжди припускаємо, що досліджувані функціонали відповідають Фішеру (Kallianpur and Rao, 1955): що означає, що при модель оцінювача асимптотично вимірює потрібну величину. Поняття консистенції Фішера є більш підходящим і елегантним для функціоналу, ніж звичайна консистенція або асимптотична неупередженість.
$Т (Ж_{θ}) = θ для усіх θ \in Θ$ $T(F_\theta)=\theta\;\mbox{ for all } \theta\in\Theta$ $\{T_n;n\geq 1\}$

self-study robust

— user603
джерело

Як саме ця книга визначає "оцінювач"? Мені здається, що будь-який обмежений оцінювач повинен мати точку зриву , тому, безумовно, він встановлює якісь особливі обмеження на ; і завжди існують обмежені оцінки інваріантних локацій (вони включатимуть константи).

T_{n}

$T_n$

1

$1$

T_{n}

$T_n$

— whuber

Дякую за розгорнутий матеріал. Здається, існує багато протилежних прикладів. Простий - це постійний оцінювач для однопараметричного сімейства нормальних розподілів дисперсії . Це локально-інваріантний оцінювач дисперсії. Точка його зриву дорівнює . Це Fisher послідовно (тривіально), але мені потрібно уважно трактувати визначення: " " не може обов'язково посилатися на всі параметри, тому що жоден інваріантний локатор не може бути послідовним!

T_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}) = 1

$T_n(X_1,\ldots,X_n)=1$

1

$1$

1

$1$

θ

$\theta$

— whuber

@whuber: Дякую, я розумію ваш зустрічний приклад. Думаю, я

— зв’яжусь

Старіші статистичні книги використовували "інваріант" дещо іншим чином, ніж можна було очікувати; зберігається неоднозначна термінологія. Більш сучасний еквівалент - "еквівалент" (див. Посилання в кінці цієї публікації). У сучасному контексті це означає

T_{n} (X_{1} + c, X_{2} + c, \dots, X_{n} + c) = T_{n} (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) + c

$T_n(X_1+c,X_2+c,\ldots,X_n+c) = T_n(X_1,X_2,\ldots,X_n) + c$

для всіх реальних . $c$

Тоді, щоб вирішити питання, припустимо, що має властивість, що для достатньо великого , все дійсне , і все , $T_n$ $n$ $c$ $m \le \varepsilon^{*}n$

| T_{n} (X + Y) - T_{n} (X) | = o (| c |)

$|T_n(\mathbf{X + Y}) - T_n(\mathbf{X})| = o(|c|)$

кожного разу, коли відрізняється від максимум в максимум координатах. $\mathbf Y$ $\mathbf{X}$ $c$ $m$

(Це слабша умова, ніж передбачається у визначенні межі розбиття. Насправді, все, що ми насправді потрібно припустити, це те, що коли достатньо велике, вираз " " є деяким значенням, яке гарантується меншим, ніж розмір.) $n$ $o(|c|)$ $|c|/2$

Доказ - протиріччя. Припустимо, відповідно, що цей також еквівалентний, і припустимо, . Тоді для досить великих , є цілим числом, для якого обидва і . Для будь-яких дійсних чисел визначте $T_n$ $\varepsilon^{*} \gt 1/2$ $n$ $m(n) = \lfloor \varepsilon^{*}n\rfloor$ $m(n)/n \le \varepsilon^{*}$ $(n-m(n))/n \le \varepsilon^{*}$ $a,b$

t_{n} (a, b) = T_{n} (a, a, \dots, a, b, b, \dots, b)

$t_n(a, b) = T_n(a, a, \ldots, a,\ b, b, \ldots, b)$

де є 's та ' s. Змінюючи або меншу кількість координат, ми робимо обидві $m(n)$ $a$ $n-m(n)$ $b$ $m(n)$

| t (a, b) - t (0, b) | = o (| a |)

$|t(a,b) - t(0,b)| = o(|a|)$

| t (a, b) - t (a, 0) | = o (| b |) .

$|t(a,b) - t(a,0)| = o(|b|).$

Для стверджується нерівність трикутника $c\gt 0$

\begin{aligned} c = | t_{n} (c, c) - t_{n} (0, 0) | & \leq | t_{n} (c, c) - t_{n} (c, 0) | + | t_{n} (c, 0) - t_{n} (0, 0) | \\ = o (c) + o (c) \\ < c / 2 + c / 2 \\ = c \end{aligned}

$\eqalign{ c = |t_n(c, c) - t_n(0, 0)| &\le |t_n(c, c) - t_n(c, 0)| + |t_n(c, 0) - t_n(0,0)| \\&= o(c) + o(c) \\&\lt c/2 + c/2 \\ &= c}$

Сувора нерівність на передостанній лінії гарантується для досить великих . Протиріччя, з якого випливає, , доводить $n$ $c \lt c$ $\varepsilon^{*} \le 1/2.$

Список літератури

Е. Л. Леманн, Теорія оцінки точок . Джон Вілі 1983.

У тексті (глава 3, розділ 1) та супровідній виносці пише Леман

Оцінювач, що задовольняє для всіх буде називатися еквівалентним ... $\delta(X_1+a, \ldots, X_n+a) = \delta(X_1,\ldots,X_n)+a$ $a$

Деякі автори називають таких оцінювачів "інваріантними". Оскільки це дозволяє припустити, що оцінювач залишається незмінним при , здається, бажано резервувати цей термін для функцій, що задовольняють для всіх . $X_i^\prime = X_i+a$ $u(x+a)=u(x)$ $x,a$

— дзижчати
джерело

так, я вчора зв’язався з головним автором книги з тим самим запитанням про власне визначення використовуваної інваріантності (я подивився в індексі, і не знайшов його явного в книзі). Я висловився за те, що вважаю, що ваша відповідь є правильною, але я дам автору пару днів, щоб бути впевненим, перш ніж прийняти її.

— user603

Я не отримав відповіді від автора, але наведені вище аргументи (у відповіді та коментарі) переконали мене, що це справді має бути правильне тлумачення проблеми.

— user603