Очікування на продукти вищого порядку нормальних розподілів

У мене є дві нормально розподілені змінні $X_1$ і $X_2$ із середньою нульовою та коваріаційною матрицею $\Sigma$ . Мені цікаво спробувати обчислити значення $E[X_1^2 X_2^2]$ в частині записів $\Sigma$ .

Я використав закон повної ймовірності отримати $E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$ але я не впевнений, до чого зводиться внутрішнє очікування. Чи є тут інший метод?

Дякую.

Редагувати: Змінні також є багатоваріантними, як правило, розподіленими.

normal-distribution conditional-expectation

— AGK
джерело

Зробіть

X_{1}

$X_1$ і

X_{2}

$X_2$ насолоджуватися двовимірне нормальний розподіл також? (Просто сказати це

X_{1}

$X_1$ і

X_{2}

$X_2$ нормальні з коваріаційною матрицею

Σ

$\Sigma$ недостатньо для того, щоб зробити висновок, що спільний розподіл є нормальним двовимірним).

— Діліп Сарват

Щодо конкретного застосування, яке я маю на увазі,

X_{1}

$X_1$ і

X_{2}

$X_2$ мають биваріантне нормальне розподіл за багатоваріантною теоремою про центральну межу. Я забув згадати про це у своєму початковому дописі.

— AGK

@AGK, якщо ви хочете уточнити свою публікацію, є кнопка "редагувати", яка дозволяє вносити зміни. Це краще для майбутніх читачів, яким тоді не потрібно шукати ключову інформацію в коментарях під питанням.

— Срібна рибка

Очікування однозначно пропорційно добутку коефіцієнтів шкали квадрата $\sigma_{11}\sigma_{22}$ . Константа пропорційності виходить шляхом стандартизації змінних, що зменшує $\Sigma$ до матриці кореляції з кореляцією $\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$ .

Якщо припустити двовимірну нормальність, то відповідно до аналізу за адресою https://stats.stackexchange.com/a/71303 ми можемо змінити змінні на

X_{1} = X, X_{2} = ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y

$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$

де $(X,Y)$ має стандартний (некорельований) двовимірний нормальний розподіл, і нам потрібно лише обчислити

E (X^{2} (ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y)^{2}) = E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y)

$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$

де точне значення константи $c$ не важливо. ( $Y$ є залишком після регресу $X_2$ проти $X_1$ .) Використання однозначних очікувань для стандартного нормального розподілу

E (X^{4}) = 3, E (X^{2}) = E (Y^{2}) = 1, E Y = 0

$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$

і відзначаючи це $X$ і $Y$ є самостійними врожаями

E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y) = 3 ρ^{2} + (1 - ρ^{2}) + 0 = 1 + 2 ρ^{2} .

$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$

Помноживши це на $\sigma_{11}\sigma_{22}$ дає

E (X_{1}^{2} X_{2}^{2}) = σ_{11} σ_{22} + 2 σ_{12}^{2} .

$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$

Цей самий метод застосовується для пошуку очікування будь-якого многочлена в $(X_1,X_2)$ , тому що він стає многочленом в $(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$ і що при розширенні являє собою поліном у незалежних нормально розподілених змінних $X$ і $Y$ . З

E (X^{2 k}) = E (Y^{2 k}) = \frac{(2 k)!}{k! 2^{k}} = π^{- 1 / 2} 2^{k} Γ (k + \frac{1}{2})

$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$

для інтеграла $k\ge 0$ (з усіма непарними моментами, рівними нулю за симетрією) ми можемо отримати

E (X_{1}^{2 p} X_{2}^{2 q}) = (2 q)! 2^{- p - q} \sum_{i = 0}^{q} ρ^{2 i} (1 - ρ^{2})^{q - i} \frac{(2 p + 2 i)!}{(2 i)! (p + i)! (q - i)!}

$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$

(при всіх інших очікуваннях одночленів дорівнює нулю). Це пропорційно гіпергеометричній функції (майже за визначенням: маніпуляції, що займаються, не є глибокими чи повчальними),

\frac{1}{π} 2^{p + q} {(1 - ρ^{2})}^{q} Γ (p + \frac{1}{2}) Γ (q + \frac{1}{2})_{2} F_{1} (p + \frac{1}{2}, - q; \frac{1}{2}; \frac{ρ^{2}}{ρ^{2} - 1}) .

$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$

Часи гіпергеометричної функції $\left(1-\rho ^2\right)^q$ розглядається як мультипликативна корекція нуля $\rho$ .

— дзижчати
джерело

Дякуємо за детальну відповідь! Я також замислююся над пов'язаними питаннями з іншими поліномами, тому це справді корисна рамка. Це дуже розумна трансформація, якої я раніше не бачив. Класно!

— AGK

Щоб допомогти вам розслідувати, я представив деталі для загальних многочленів. Коли я спочатку писав цю відповідь, мені було цікаво зрозуміти, що я дізнався цю трансформацію з підручника з елементарної статистики Фрідмана, Пісані та Первеса: ми навчаємо цього для першокурсників коледжу!

— whuber