Як перетворити функцію в щільність ймовірності, зберігаючи форму функції?

У мене є ряд функцій, кожна з яких нібито представляє щільність випадкової величини між агентами. Кожна функція також має домен, який описує, які значення випадкової величини є дійсними.

Тепер, якщо я правильно запам’ятав свої класи статистики, якщо я беру інтеграл однієї з функцій через значення, описані в домені функції, я повинен отримати значення 1,0. Однак цього не відбувається.

Чи існує методика нормалізації, яка може перетворити функцію на справжню густину ймовірності, але зберігає форму функції?

Усі функції мають форму , де - випадкова величина, а - різні константи. $\frac{a}{bx}+c$ $x$ $a,b,c$

distributions probability

— Грехем
джерело

Якщо у вас є негативна інтегруюча функція з доменом така, що $f$ $D$

k = \int_{D} f (x) d x < \infty

$k = \int_{D} f(x) dx < \infty$

Тоді є щільність ймовірності на . Значення відоме як нормалізуюча константа . $f(x)/k$ $D$ $k$

Редагувати: у своєму прикладі ви сказали, що для відомих констант . У цьому випадку невизначений інтеграл обчислити просто, а нормалізуюча константа була б $f(x) = \frac{a}{bx} + c$ $a,b,c$

k = {[\frac{a \log (x)}{b} + c x]}_{D}

$k = \left[ \frac{a \log(x) }{b} + cx \right]_{D}$

якщо - інтервал тоді це спрощується до $D$ $(A,B)$

k = \frac{a}{b} \cdot \log (\frac{B}{A}) + c (B - A)

$k = \frac{a}{b} \cdot \log \left( \frac{B}{A} \right) + c(B-A)$ Тому - щільність ймовірності на .

g (x) = \frac{\frac{a}{b x} + c}{\frac{a}{b} \cdot \log (\frac{B}{A}) + c (B - A)}

$g(x) = \frac{\frac{a}{bx} + c}{\frac{a}{b} \cdot \log \left( \frac{B}{A} \right) + c(B-A)}$

(A, B)

$(A,B)$

— Макрос
джерело