Оцінка ML для експоненціального розподілу (з цензурованими даними)

В аналізі виживання ви припускаєте, що час виживання rv буде експоненціально розподілений. Враховуючи тепер, що у мене є "результати" iid rv . Тільки деяка частка цих результатів насправді "повністю реалізована", тобто решта спостережень все ще "живі".$X_i$$x_1,\dots,x_n$$X_i$

Якщо я хотів виконати оцінку ML для параметра швидкості розподілу, як я можу використовувати нереалізовані спостереження узгоджено / відповідним чином? Я вважаю, що вони все ще містять корисну інформацію для оцінки.$\lambda$

Невже хтось може мене направити на літературу на цю тему? Я впевнений, що він існує. Однак у мене виникають проблеми з пошуку хороших ключових слів / пошукових термінів для цієї теми.

Ви все ще можете оцінити параметри, використовуючи ймовірність безпосередньо. Нехай спостереження будуть з експоненціальним розподілом зі швидкістю і невідомими. Функція густини , функція кумулятивного розподілу і хвостова функція . Припустимо, спочатку спостерігаються спостереження, тоді як для ми знаємо лише, що для деяких відомих позитивних констант$x_1, \dots, x_n$$\lambda>0$$f(x;\lambda)= \lambda e^{-\lambda x}$$F(x;\lambda)=1-e^{-\lambda x}$$G(x;\lambda)=1-F(x;\lambda) = e^{-\lambda x}$$r$$x_{r+1}, \dots, x_n$$x_j > t_j$$t_j$. Як завжди, для цензурованих спостережень вірогідність - це "ймовірність спостережуваних даних", що задається , тому функція повної ймовірності - Функція вірогідності журналу стає яка має таку ж форму, як імовірність реєстрації для звичайного, повністю спостережуваного випадку, за винятком першого терміна в місце . Записуючи для середнього часу спостережень та цензури, оцінювач максимальної вірогідності стає$P(X_j > t_j) = G(t_j;\lambda)$

$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^r f(x_i;\lambda) \cdot \prod_{i=r+1}^n G(t_j;\lambda)$$ $$l(\lambda) = r\log\lambda -\lambda(x_1+\dots+x_r+t_{r+1}+\dots+ t_n)$$ $r\log\lambda$$n\log\lambda$$T$$\lambda$$\hat{\lambda}=\frac{r}{nT}$ , який ви самі можете порівняти з повністю спостережуваним випадком.

 EDIT   

Щоб спробувати відповісти на запитання в коментарях: Якщо всі спостереження були цензуровані, тобто ми не чекали досить довго, щоб спостерігати якусь подію (смерть), що ми можемо зробити? У цьому випадку , тому ймовірність логліка стає , тобто лінійно зменшується в . Отже, максимум повинен бути для ! Але нуль не є дійсним значенням для параметра швидкості оскільки воно не відповідає жодному експоненціальному розподілу. Потрібно зробити висновок, що в цьому випадку максимального показника ймовірності не існує! Можливо, можна спробувати побудувати якийсь інтервал довіри для$r=0$

$$l(\lambda) = -nT \lambda$$ $\lambda$$\lambda=0$$\lambda$$\lambda$виходячи з цієї функції вірогідності? Для цього дивіться нижче.

Але, у будь-якому випадку, справжній висновок з даних у цьому випадку полягає в тому, що нам слід почекати більше часу, поки ми не отримаємо якісь події ...

Ось як ми можемо побудувати (однобічний) довірчий інтервал для у випадку, якщо всі спостереження цензуруються. Імовірною функцією в цьому випадку є , яка має таку ж форму, як ймовірність функції з біноміального експерименту, де ми отримали всі успіхи, а це (див. Також Інтервал довіри навколо двочленної оцінки 0 або 1 ). У цьому випадку ми хочемо одностороннього довірчого інтервалу для форми . Тоді ми отримаємо інтервал для , вирішуючи .$\lambda$$e^{-\lambda n T}$$p^n$$p$$[\underset{\bar{}}{p}, 1]$$\lambda$$\log p = -\lambda T$

Отримаємо інтервал довіри для , вирішивши так, що . Це дасть нарешті інтервал довіри для : $p$

$$P(X=n) = p^n \ge 0.95 ~~~~\text{(say)}$$ $n\log p \ge \log 0.95$$\lambda$ $$\lambda \le \frac{-\log 0.95}{n T}.$$