Як ефективно генерувати відсортовані рівномірно розподілені значення в інтервалі?

Скажімо, я хочу генерувати набір випадкових чисел з інтервалу (a, b). Створена послідовність також повинна мати властивість її сортування. Я можу придумати два способи цього досягти.

Нехай nбуде довжина послідовності, яка буде створена.

1-й алгоритм:

Let `offset = floor((b - a) / n)`
for i = 1 up to n:
   generate a random number r_i from (a, a+offset)
   a = a + offset
   add r_i to the sequence r

2-й алгоритм:

for i = 1 up to n:
    generate a random number s_i from (a, b)
    add s_i to the sequence s
sort(r)

Моє запитання полягає в тому, чи алгоритм 1 створює такі ж послідовності, настільки ж хороші, як ті, що генеруються алгоритмом 2?

Перший алгоритм виходить з ладу з двох причин:

1. $(a-b)/n$$b-a \lt n$

2. $n$$a=0$$b=1$$(1-1/n)^n\approx 1/e\approx 37\%$$1-1/n$$1$$100\%$Шанс, що максимум буде в цьому інтервалі. Для деяких цілей ця суперрівномірність є хорошою, але загалом це жахлива помилка, оскільки (а) багато статистики буде зіпсовано, але (б) визначити, чому це може бути дуже важко.

3. $n+1$$(0,1)$$1$$(a,b)$

$1000$$n=100$

Більше багатьох (кумедних) способів моделювання незалежних рівномірних змінних див. У розділі Моделювання креслень з рівномірного розподілу за допомогою малюнків із звичайного розподілу .

Ось Rкод, який створив фігуру.

b <- 1
a <- 0
n <- 100
n.iter <- 1e3

offset <- (b-a)/n
as <- seq(a, by=offset, length.out=n)
sim.1 <- matrix(runif(n.iter*n, as, as+offset), nrow=n)
sim.2 <- apply(matrix(runif(n.iter*n, a, b), nrow=n), 2, sort)
sim.3 <- apply(matrix(rexp(n.iter*(n+1)), nrow=n+1), 2, function(x) {
  a + (b-a) * cumsum(x)[-(n+1)] / sum(x)
})

par(mfrow=c(1,3))
hist(sim.1, main="Algorithm 1")
hist(sim.2, main="Algorithm 2")
hist(sim.3, main="Exponential")

Перший алгоритм виробляє занадто рівномірно розташовані числа

Дивіться також серію з низькою невідповідністю .

$[0;1]$

(Як зазначалося, це може бути бажаною властивістю, наприклад, для стратифікації. Серії з низькою невідповідністю, як Халтон і Собель , мають свої випадки використання.)

Правильний, але дорогий підхід (для реальних цінностей)

... полягає у використанні бета-розподілених випадкових чисел. Статистика рангового порядку рівномірного розподілу розподіляється бета-версією. Ви можете використовувати це, щоб випадковим чином намалювати найменший , потім другий найменший, ... повторити.

$[0;1]$$\text{Beta}[1,n]$$n$$1-X\sim \text{Beta}[n, 1]$$-\ln (1-X)\sim \text{Exponential}[n]$$\frac{-\ln(U[0;1])}{n}$

Що дає такий алгоритм:

x = a
for i in range(n, 0, -1):
    x += (b-x) * (1 - pow(rand(), 1. / i))
    result.append(x) 

Можуть бути задіяні чисельні нестабільності, і обчислення powта поділ для кожного об'єкта можуть виявитися повільнішими, ніж сортування.

Для цілих значень вам може знадобитися використовувати інший розподіл.

Сортування неймовірно дешеве, тому просто використовуйте його

$O(n \log n)$

Це також залежить від того, що ви робите з випадковими числами. Для проблем з числовою інтеграцією метод один (коли виправляється видаленням оператора підлоги) створив би кращий набір точок. Те, що ви робите, - це форма стратифікованого відбору проб, і вона має ту перевагу, що вона уникає скупчення. неможливо отримати, наприклад, усі ваші значення в діапазоні 0- (ba) / n. Це говорить про інші програми, це може бути дуже погано, це залежить від того, що ви хочете зробити з цим.