pdf добутку двох незалежних Уніфікованих випадкових величин

12

Нехай ~ і ~ - дві незалежні випадкові величини із заданими розподілами. Який розподіл ? $X$ $U(0,2)$ $Y$ $U(-10,10)$ $V=XY$

Я спробував згортання, знаючи це

h (v) = \int_{y = - \infty}^{y = + \infty} \frac{1}{y} f_{Y} (y) f_{X} (\frac{v}{y}) d y

$h(v) = \int_{y=-\infty}^{y=+\infty}\frac{1}{y}f_Y(y) f_X\left (\frac{v}{y} \right ) dy$

Ми також знаємо, що , $f_Y(y) = \frac{1}{20}$

год (v) = \frac{1}{20} \int_{у = - 10}^{у = 10} \frac{1}{у} \cdot \frac{1}{2} г у

$h(v)= \frac{1}{20} \int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{2}dy$

h (v) = \frac{1}{40} \int_{y = - 10}^{y = 10} \frac{1}{y} d у

$h(v)=\frac{1}{40}\int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}dy$

Щось мені підказує, тут є щось дивне, оскільки воно припиняється в 0. Просимо допомогти.

distributions random-variable

— cgo
джерело

1

Якщо це домашнє завдання, чи можете ви додати тег для самостійного вивчення? Дякую!

— Енді

це не може бути рівномірним РВ?

— Yair Daon

Це не схоже на рівномірне. може щось із журналом? Але я не знаю, як це виписати, оскільки нуль знаходиться між межами, а функція не визначена в нулі.

— cgo

14

Тонка, сувора, елегантна відповідь уже розміщена. Ця діяльність спрямована на те , щоб отримати той же результат , таким чином , що може бути трохи більше виявлення основної структури . Це показує, чому функція щільності ймовірності (pdf) повинна бути єдиною при . $XY$ $0$

Багато чого можна досягти, зосередившись на формах розподілу компонентів :

- двічі випадкова величина. - це стандартна "приємна" форма, характерна для всіх рівномірних розподілів. $X$ $U(0,1)$ $U(0,1)$
- це десять разів випадкова величина. $|Y|$ $U(0,1)$
Знак слід Радемахер розподілу: він дорівнює або , кожен з яких з ймовірністю . $Y$ $-1$ $1$ $1/2$

(Цей останній крок перетворює негативну змінну в симетричний розподіл навколо , обидва хвости яких схожі на початковий розподіл.) $0$

Тому (a) симетричний приблизно і (b) його абсолютне значення в разів добуток двох незалежних випадкових величин. $XY$ $0$ $2\times 10=20$ $U(0,1)$

Продукти часто спрощуються за допомогою логарифмів. Дійсно, добре відомо, що негативний журнал змінної має Експоненціальний розподіл (оскільки мова йде про найпростіший спосіб генерування випадкових експоненціальних змінних), звідки негативний журнал добутку двох з них має розподіл суми двох експонентів. Експоненціал - це розподіл . Гамма-розподіли з одним і тим же параметром масштабу легко додати: ви просто додаєте їх параметри форми. A плюс a $U(0,1)$ $\Gamma(1,1)$ $\Gamma(1,1)$ змінна тому має розподіл. Отже $\Gamma(1,1)$ $\Gamma(2,1)$

Випадкова величина є симетризованою версією, що в разів перевищує експоненцію від’ємника змінної. $XY$ $20$ $\Gamma(2,1)$

Малюнок

Побудова PDF-файлу з розподілу показана зліва направо, виходячи з рівномірного, до експонентного, до , до експоненціальної його негативної , до того ж, що масштабується на , і нарешті симетризований варіант цього. Його PDF нескінченний при , що підтверджує розрив там. $XY$ $U(0,1)$ $\Gamma(2,1)$ $20$ $0$

Ми можемо з задоволенням зупинитися тут. Наприклад, ця характеристика дає нам можливість генерувати реалізацію безпосередньо, як у цьому виразі: $XY$ R

n <- 1; 20 * exp(-rgamma(n, 2, scale=1)) * ifelse(runif(n) < 1/2, -1, 1)

Цей аналіз також виявляє, чому pdf вибухає при . $0$ Ця особливість вперше з'явилася, коли ми розглядали експоненцію (від’ємника розподілу , що відповідає множенню однієї змінної на іншу. Значення в межах (скажімо) від виникають у багатьох відношеннях, в тому числі (але не обмежуючись цим) , коли (а) одним з факторів менше , ніж , або (б) як чинники менше , ніж $\Gamma(2,1)$ $U(0,1)$ $\varepsilon$ $0$ $\varepsilon$ . Цей квадратний корінь надзвичайно більший, ніжсам, колиблизький до. Це зумовлює велику ймовірність, на величину більше, ніж $\sqrt{\varepsilon}$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $0$ , що видавлюється на інтервал довжини. Щоб це було можливо, щільність продукту повинна стати довільно великою при. Подальші маніпуляції - масштабування на коефіцієнтта симетризація - очевидно, не усунуть цю особливість. $\sqrt{\varepsilon}$ $\varepsilon$ $0$ $20$

Ця описова характеристика відповіді також призводить безпосередньо до формул з мінімальним суєтом, показуючи, що вона є повною і суворою. Наприклад, щоб отримати pdf , почніть з елемента ймовірності розподілу , $XY$ $\Gamma(2,1)$

f (т) г т = т е^{- т} г т, 0 < т < \infty .

$f(t)dt = te^{-t}dt,\ 0 \lt t \lt \infty.$

Дозволяючи означає і . Це перетворення також повертає порядок: більші значення призводять до менших значень . З цієї причини ми повинні заперечувати результат після заміни, даючи $t=-\log(z)$ $dt = -d(\log(z)) = -dz/z$ $0 \lt z \lt 1$ $t$ $z$

f (t) d t = - (- \log (z) e^{- (- \log (z))} (- d z / z)) = - \log (z) d z, 0 < z < 1.

$f(t)dt = -\left(-\log(z) e^{-(-\log(z))} (-dz/z)\right) = -\log(z) dz,\ 0 \lt z \lt 1.$

Коефіцієнт масштабу перетворює це в $20$

- \log (z / 20) d (z / 20) = - \frac{1}{20} \log (z / 20) d z, 0 < z < 20.

$-\log(z/20) d(z/20) = -\frac{1}{20}\log(z/20)dz,\ 0 \lt z \lt 20.$

Нарешті, симетризація замінює на , дозволяє його значенням зараз від до , і ділить pdf на щоб розподілити загальну ймовірність порівну по інтервалах і : $z$ $|z|$ $-20$ $20$ $2$ $(-20,0)$ $(0,20)$

\begin{aligned} f_{X Y} (z) d z & = - \frac{1}{2} \frac{1}{20} \log (| z | / 20), - 20 < z < 20; \\ f_{X Y} (z) d z & = 0 otherwise . \end{aligned}

$\eqalign{ f_{XY}(z)dz &= -\frac{1}{2}\frac{1}{20} \log(|z|/20),\ -20 \lt z\lt 20;\\ f_{XY}(z)dz &= 0\ \text{otherwise}. }$

— дзижчати
джерело

Дякую за те, що ви намагаєтеся зробити його "доступнішим". Я все ще знаходив це трохи інтуїтивно зрозумілим протилежним, тому я просто виконав це (подібно до "симуляції" Сіану): plot( density( outer(seq(-10,10,length=10),seq(0,2,length=10), "*") ) )Cranking довжиною до 100 дозволяє уникнути деяких артефактів для щільності на обмежене розповсюдження.

— DWin

9

У вашому виведення не використовується щільність . Оскільки , $X$ $X\sim\mathcal{U}(0,2)$ тому у вашій формулі згортки

f_{Х} (х) = \frac{1}{2} Я_{(0, 2)} (х)

$f_X(x) = \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(x)$

(я також виправив якобіан, додавши абсолютне значення). Отже,

год (v) = \frac{1}{20} \int_{- 10}^{10} \frac{1}{| у |} \cdot \frac{1}{2} Я_{(0, 2)} (v / у) г у

$h(v)= \frac{1}{20} \int_{-10}^{10} \frac{1}{|y|}\cdot \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(v/y)\text{d}y$

Ось підтвердження за допомогою моделювання результату:

\begin{aligned} год (v) & = \frac{1}{40} \int_{- 10}^{0} \frac{1}{| у |} Я_{0 \leq v / у \leq 2} г у + \frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{| у |} Я_{0 \leq v / у \leq 2} г у \\ = \frac{1}{40} \int_{- 10}^{0} \frac{1}{| у |} Я_{0 \geq v / 2 \geq у \geq - 10} г у + \frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{| у |} Я_{0 \leq v / 2 \leq у \leq 10} г у \\ = \frac{1}{40} Я_{- 20 \leq v \leq 0} \int_{- 10}^{v / 2} \frac{1}{| у |} г у + \frac{1}{40} Я_{20 \geq v \geq 0} \int_{v / 2}^{10} \frac{1}{| у |} г у \\ = \frac{1}{40} Я_{- 20 \leq v \leq 0} журнал {20 / | v |} + \frac{1}{40} Я_{0 \leq v \leq 20} журнал {20 / | v |} \\ = \frac{журнал {20 / | v |}}{40} Я_{- 20 \leq v \leq 20} \end{aligned}

$\begin{align*} h(v) &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\ge v/2\ge y\ge -10}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/2\le y\le 10}\text{d}y\\&= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \int_{-10}^{v/2} \frac{1}{|y|}\text{d}y+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{20\ge v\ge 0} \int_{v/2}^{10} \frac{1}{|y|}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \log\{20/|v|\}+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{0\le v\le 20} \log\{20/|v|\}\\ &=\frac{\log\{20/|v|\}}{40}\mathbb{I}_{-20\le v\le 20} \end{align*}$ введіть тут опис зображення

отримані як

   hist(runif(10^6,0,2)*runif(10^6,10,10),prob=TRUE,
   nclass=789,border=FALSE,col="wheat",xlab="",main="")
   curve(log(20/abs(x))/40,add=TRUE,col="sienna2",lwd=2,n=10^4)

— Сіань
джерело

Привіт, спасибі Я хотів би запитати, чому межі змінилися з -10 на 10 -10 до v / 2?

— cgo

Чи повинен десь бути негатив? Дякую

— cgo

1

- 20 < v < 20

$-20\lt v \lt 20$

\log (20 / | v |)

$\log(20/|v|)$

20 / | v | > 1

$20/|v|\gt 1$

- \log (| v | / 20)

$-\log(|v|/20)$