Обчисліть квантил суми розподілів від окремих квантів

Припустимо незалежних випадкових величин для яких на певному рівні відомі через оцінку з даних: , ..., . Тепер визначимо випадкову змінну як суму . Чи є спосіб обчислити значення суми на рівні , тобто в ? $N$ $X_1, ..., X_N$ $\alpha$ $\alpha = P(X_1 < q_1)$ $\alpha = P(X_N < q_N)$ $Z$ $Z = \sum_{i=1}^N X_i$ $\alpha$ $q_z$ $\alpha = P(Z < q_Z)$

Я думаю, що в конкретних випадках, наприклад, якщо слідує за гауссовим розподілом це легко, але я не такий впевнений у випадку, коли розподіл невідомий. Будь-які ідеї? $X_i$ $\forall i$ $X_i$

quantiles

— albarji
джерело

чи оцінюються ці з даних або теоретично відомі?

q_{i}

$q_i$

— ч.

Це неможливо без конкретних припущень щодо розподілів . Чи маєте ви на увазі родину розподілів?

X_{i}

$X_i$

— whuber

@chuse оцінюються за даними, оскільки розподіл не відомий, але вибірки доступні. Я оновив питання цим фактом.

q_{i}

$q_i$

X_{i}

$X_i$

— albarji

@whuber Я не мав попередніх знань про сімейство дистрибутивів, за якими може бути наступний , хоча зразки даних доступні. Чи припустити, що сім'я розподілів (окрім Гауссана) полегшить це?

X_{i}

$X_i$

— albarji

$q_Z$ може бути чим завгодно.

Щоб зрозуміти цю ситуацію, зробимо попереднє спрощення. Працюючи з ми отримуємо більш рівномірну характеристику $Y_i = X_i - q_i$

α = Pr (X_{i} \leq q_{i}) = Pr (Y_{i} \leq 0) .

$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$

Тобто кожен має однакову ймовірність бути негативним. Тому що $Y_i$

W = \sum_{i} Y_{i} = \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} q_{i} = Z - \sum_{i} q_{i},

$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$

визначальне рівняння для еквівалентно $q_Z$

α = Pr (Z \leq q_{Z}) = Pr (Z - \sum_{i} q_{i} \leq q_{Z} - \sum_{i} q_{i}) = Pr (W \leq q_{W})

$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$

з . $q_Z = q_W + \sum_i q_i$

Які можливі значення ? Розглянемо випадок, коли всі мають однаковий розподіл з усією ймовірністю на два значення, одне з них негативне ( ), а інше додатне ( ). Можливі значення суми обмежені при . Кожне з них відбувається з вірогідністю $q_W$ $Y_i$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $ky_{-} + (n-k)y_{+}$ $k=0, 1, \ldots, n$

{Pr}_{W} (k y_{-} + (n - k) y_{+}) = (\binom{n}{k}) α^{k} (1 - α)^{n - k} .

${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$

Крайності можна знайти за

Вибираючи і так, щоб ; і це виконають. Це гарантує, що буде від'ємним, за винятком випадків, коли всі позитивні. Цей шанс дорівнює . Він перевищує коли , маючи на увазі, що квантиль повинен бути строго від'ємним. $y_{-}$ $y_{+}$ $y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$ $y_{-}=-n$ $y_{+}=1$ $W$ $Y_i$ $1 - (1-\alpha)^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$
Вибираючи і так, що ; і це виконають. Це гарантує, що буде негативним лише тоді, коли всі негативні. Цей шанс дорівнює . Це менше, ніж коли , маючи на увазі, що квантиль повинен бути строго позитивним. $y_{-}$ $y_{+}$ $(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$ $y_{-}=-1$ $y_{+}=n$ $W$ $Y_i$ $\alpha^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$

Це показує, що квантиль може бути або негативним, або позитивним, але не дорівнює нулю. Яким може бути його розмір? Він повинен дорівнювати деякій цілісній лінійній комбінації і . Здійснення обох цілих цілих чисел гарантує, що всі можливі значення є інтегральними. Якщо масштабувати довільним додатним числом , ми можемо гарантувати, що всі інтегральні лінійні комбінації і є цілими кратними . Оскільки , він повинен бути розміром принаймні . Отже, $\alpha$ $W$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $y_{\pm}$ $s$ $y_{-}$ $y_{+}$ $s$ $q_W \ne 0$ $s$ можливі значення (і звідки ) необмежені, $q_W$ $q_Z$ незалежно від того, що може дорівнювати. $n\gt 1$

Тільки спосіб отримати якусь - яку інформацію про б зробити конкретні і сильні обмеження на розподілах , з метою запобігання і обмеження роду несиметричних розподілів , використовуваних для отримання цього негативного результату. $q_Z$ $X_i$

— дзижчати
джерело

Велике спасибі @whuber, за пояснення та наочний приклад. Хоча відповідь негативна, я не можу сказати, що це було несподівано. Тоді я спробую з’ясувати, яке сімейство розподілів відповідає моїм даним, і побачити, чи я можу опрацювати кванти суми.

— albarji