Як створити дані про виживання іграшки (час до події) при правильній цензурі

Я хочу створити дані про виживання іграшки (час до події), які піддаються правильній цензурі та мають певний розподіл з пропорційними небезпеками та постійною базовою небезпекою.

Я створив дані наступним чином, але не можу отримати оцінені коефіцієнти небезпеки, близькі до справжніх значень, після встановлення моделі моделювання пропорційної небезпеки Кокса до імітованих даних.

Що я зробив не так?

Коди R:

library(survival)

#set parameters
set.seed(1234)

n = 40000 #sample size


#functional relationship

lambda=0.000020 #constant baseline hazard 2 per 100000 per 1 unit time

b_haz <-function(t) #baseline hazard
  {
    lambda #constant hazard wrt time 
  }

x = cbind(hba1c=rnorm(n,2,.5)-2,age=rnorm(n,40,5)-40,duration=rnorm(n,10,2)-10)

B = c(1.1,1.2,1.3) # hazard ratios (model coefficients)

hist(x %*% B) #distribution of scores

haz <-function(t) #hazard function
{
  b_haz(t) * exp(x %*% B)
}

c_hf <-function(t) #cumulative hazards function
{
  exp(x %*% B) * lambda * t 
}

S <- function(t) #survival function
{
  exp(-c_hf(t))
}

S(.005)
S(1)
S(5)

#simulate censoring

time = rnorm(n,10,2)

S_prob = S(time)

#simulate events

event = ifelse(runif(1)>S_prob,1,0)

#model fit

km = survfit(Surv(time,event)~1,data=data.frame(x))

plot(km) #kaplan-meier plot

#Cox PH model

fit = coxph(Surv(time,event)~ hba1c+age+duration, data=data.frame(x))

summary(fit)            

cox.zph(fit)

Результати:

Call:
coxph(formula = Surv(time, event) ~ hba1c + age + duration, data = data.frame(x))

  n= 40000, number of events= 3043 

             coef exp(coef) se(coef)     z Pr(>|z|)    
hba1c    0.236479  1.266780 0.035612  6.64 3.13e-11 ***
age      0.351304  1.420919 0.003792 92.63  < 2e-16 ***
duration 0.356629  1.428506 0.008952 39.84  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

         exp(coef) exp(-coef) lower .95 upper .95
hba1c        1.267     0.7894     1.181     1.358
age          1.421     0.7038     1.410     1.432
duration     1.429     0.7000     1.404     1.454

Concordance= 0.964  (se = 0.006 )
Rsquare= 0.239   (max possible= 0.767 )
Likelihood ratio test= 10926  on 3 df,   p=0
Wald test            = 10568  on 3 df,   p=0
Score (logrank) test = 11041  on 3 df,   p=0

але справжні значення встановлюються як

B = c(1.1,1.2,1.3) # hazard ratios (model coefficients)

$<0$

time = rnorm(n,10,2) 
S_prob = S(time)
event = ifelse(runif(1)>S_prob,1,0)

Отже, тут є загальний метод, за яким слід якийсь код R.

---

Генерування часу виживання для імітації моделей пропорційної небезпеки Кокса

$V$$(0, 1)$$S(\cdot \,|\, \mathbf{x})$

$$S(t \,|\, \mathbf{x}) = \exp \left( -H_0(t) \exp(\mathbf{x}^\prime \mathbf{\beta}) \vphantom{\Big(} \right)$$ $$T = S^{-1}(V \,|\, \mathbf{x}) = H_0^{-1} \left( - \frac{\log(V)}{\exp(\mathbf{x}^\prime \mathbf{\beta})} \right)$$ $S(\cdot \,|\, \mathbf{x})$$T \sim S(\cdot \,|\, \mathbf{x})$$v$$V \sim \mathrm{U}(0, 1)$$t = S^{-1}(v \,|\, \mathbf{x})$

---

Приклад [Основна небезпека Weibull]

$h_0(t) = \lambda \rho t^{\rho - 1}$$\rho > 0$$\lambda > 0$$H_0(t) = \lambda t^\rho$$H^{-1}_0(t) = (\frac{t}{\lambda})^{\frac{1}{\rho}}$$T \sim S(\cdot \,|\, \mathbf{x})$

$$t = \left( - \frac{\log(v)}{\lambda \exp(\mathbf{x}^\prime \mathbf{\beta})} \right)^{\frac{1}{\rho}}$$ $v$$(0, 1)$$T$$\mathbf{x}$$\rho$$\lambda \exp(\mathbf{x}^\prime \mathbf{\beta})$

---

R код

$x$

# baseline hazard: Weibull

# N = sample size    
# lambda = scale parameter in h0()
# rho = shape parameter in h0()
# beta = fixed effect parameter
# rateC = rate parameter of the exponential distribution of C

simulWeib <- function(N, lambda, rho, beta, rateC)
{
  # covariate --> N Bernoulli trials
  x <- sample(x=c(0, 1), size=N, replace=TRUE, prob=c(0.5, 0.5))

  # Weibull latent event times
  v <- runif(n=N)
  Tlat <- (- log(v) / (lambda * exp(x * beta)))^(1 / rho)

  # censoring times
  C <- rexp(n=N, rate=rateC)

  # follow-up times and event indicators
  time <- pmin(Tlat, C)
  status <- as.numeric(Tlat <= C)

  # data set
  data.frame(id=1:N,
             time=time,
             status=status,
             x=x)
}

---

Тест

$\beta = -0.6$

set.seed(1234)
betaHat <- rep(NA, 1e3)
for(k in 1:1e3)
{
  dat <- simulWeib(N=100, lambda=0.01, rho=1, beta=-0.6, rateC=0.001)
  fit <- coxph(Surv(time, status) ~ x, data=dat)
  betaHat[k] <- fit$coef
}

> mean(betaHat)
[1] -0.6085473

$e^{-(\lambda * e^(x * \beta)*t)^\rho}$

$^{(1/rho)}$

значить, я модифікував так

Tlat <- (- log(v))^(1 / rho) / (lambda * exp(x * beta))

якщо rho = 1, результат буде однаковим.