Умовна ймовірність безперервної змінної

Припустимо, що випадкова величина слідує за безперервним рівномірним розподілом з параметрами 0 і 10 (тобто ) $U$ $U \sim \rm{U}(0,10)$

Тепер позначимо A подію, що = 5 і B подія, що дорівнює або або 6. За моїм розумінням, обидві події мають нульову ймовірність. $U$ $U$ $5$

Тепер, якщо ми розглянемо обчислення , ми не можемо використовувати умовний закон , оскільки дорівнює нулю. Однак моя інтуїція підказує мені, що . $P(A|B)$ $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}$ $P(B)$ $P(A|B) = 1/2$

conditional-probability continuous-data uniform

— Новачок
джерело

Що б сказала вам ваша інтуїція, якби мала неоднорідну щільність ?

U

$U$

0.02 u, u \in (0, 10)

$0.02u, u \in (0,10)$

— Діліп Сарват

@DilipSarwate Моя інтуїція сказала б мені, що відповідь - це число трохи нижче 0,5

— Noob

Відповіді:

"Поняття умовної ймовірності стосовно ізольованої гіпотези, ймовірність якої дорівнює 0, є неприпустимою". А. Колмогоров

Для безперервних випадкових величин, що кажуть і , умовні розподіли визначаються властивістю, що вони відновляють вихідну міру ймовірності, тобто для всіх вимірюваних множин , , $X$ $Y$ $A\in\mathcal{B}(\mathbf{X})$ $B\in\mathcal{B}(\mathbf{Y})$ Це означає, що умовна щільність визначається довільно на множинах міри нуль або, іншими словами, що умовна щільність визначаєтьсямайже скрізь. Оскільки множина є мірою нульовою проти міри Лебега, це означає, що ви можете визначити і і абсолютно довільними способами, а отже, ймовірність

P (X \in A, Y \in B) = \int_{B} d P_{Y} (y) \int_{B} d P_{X | Y} (x | y)

$\mathbb{P}(X\in A,Y\in B)=\int_B \text{d}P_Y(y) \int_B \text{d}P_{X|Y}(x|y)$

p_{X | Y} (x | y)

$p_{X|Y}(x|y)$

{5, 6}

$\{5,6\}$

p (5)

$p(5)$

p (6)

$p(6)$

може приймати будь-яке значення.

P (U = 5 | U \in {5, 6})

$\mathbb{P}(U=5|U\in\{5,6\})$

Це не означає, що ви не можете визначити умовну щільність за формулою співвідношення як у двовимірному звичайному випадку, але просто, що щільність визначається лише майже скрізь для обох і .

f (y | x) = f (x, y) / f (x)

$f(y|x)=f(x,y)\big/f(x)$

x

$x$

y

$y$

"Було багато суперечливих аргументів - між інакше компетентними ймовірностями - щодо того, який із цих результатів є" правильним "." ET Jaynes

Той факт, що обмежувальний аргумент (коли переходить до нуля) у наведеній вище відповіді, здається, дає природну та інтуїтивну відповідь, пов'язаний з парадоксом Бореля . Вибір параметризації в граничних питаннях, як показано в наступному прикладі, який я використовую в своїх нижчих класах. $\epsilon$

Візьміть біваріантну нормальну Яка умовна щільність урахуванням того, що ?

X, Y \overset{i.i.d.}{\sim} N (0, 1)

$X,Y\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\mathcal{N}(0,1)$ $X$ $X=Y$

Якщо починати з щільності суглоба , "інтуїтивно зрозумілою" відповіддю є [пропорційна] . Це можна отримати, розглядаючи зміну змінної де має щільність $\varphi(x)\varphi(y)$ $\varphi(x)^2$

(x, t) = (x, y - x) \sim φ (x) φ (t + x)

$(x,t)=(x,y-x) \sim \varphi(x)\varphi(t+x)$

T = Y - X

$T=Y-X$

. Звідси

φ (t / \sqrt{2}) / \sqrt{2}

$\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}$

f (x | t) = \frac{φ (x) φ (t + x)}{φ (t / \sqrt{2}) / \sqrt{2}}

$f(x|t)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(t+x)}{\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}}$

Однак якщо врахувати замість змінної

гранична щільність

- щільність Коші

а умовна щільність

f (x | t = 0) = \frac{φ (x) φ (x)}{φ (0 / \sqrt{2}) / \sqrt{2}} = φ (x)^{2} \sqrt{2}

$f(x|t=0)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(x)}{\varphi(0/\sqrt{2})/\sqrt{2}}=\varphi(x)^2\sqrt{2}$

(x, r) = (x, y / x) \sim φ (x) φ (r x) | x |

$(x,r)=(x,y/x) \sim \varphi(x)\varphi(rx)|x|$

R = Y / X

$R=Y/X$

ψ (r) = 1 / π {1 + r^{2}}

$\psi(r)=1/\pi\{1+r^2\}$

X

$X$ заданий

Тому

R

$R$

f (x | r) = φ (x) φ (r x) | x | \times π {1 + r^{2}}

$f(x|r)=\varphi(x)\varphi(rx)|x| \times \pi \{1+r^2\}$

І тут лежить «парадокс»: події

такі жяк

, але вони призводять до різних умовної щільності на

f (x | r = 1) = π φ (x)^{2} | x | / 2 .

$f(x|r=1)= \pi\varphi(x)^2|x|/2\,.$

R = 1

$R=1$

T = 0

$T=0$

X = Y

$X=Y$

X

$X$

— Сіань
джерело

Це просто неправильно. Якщо ви строгий курс теорії ймовірності ви побачите , що кондиціонер на події нульовий заходи є можливим, і практично. Розглянемо як биваріантного гаусса. Усі знають, що ви можете умовити, щоб перша змінна прийняла значення нуль, хоча ця подія має нульову ймовірність. Дивіться вікіпедію. en.wikipedia.org/wiki/…

— Yair Daon

Ось суперечлива відповідь:

Сіань має рацію, що ви не можете обумовлювати події з нульовою ймовірністю. Однак Яїр також має рацію, що як тільки ви зважитеся на процес обмеження , ви зможете оцінити ймовірність. Проблема полягає в тому, що існує багато обмежувальних процесів, які приходять до потрібного стану.

$(1, 11)$ $p$ $1-p$

Зауважимо, що багато статистиків не приймають принцип байдужості. Мені це подобається, бо вона відображає мою інтуїцію. Хоча я не завжди впевнений, як це застосувати, можливо, через 50 років він стане більш основним?

— Ніл G
джерело

[0, 10]

$[0,10]$

5

$5$

0

$0$

6

$6$

\sqrt{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}}

$\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}$

@whuber: Аргумент, що перегортає, не працює для розподілу Коші, якщо ви не перевернете його режим.

— Ніл Г

Звичайно, це так: існує маса способів перетворити один безперервний розподіл на інший, який підміняє два значення. Власне, ваше "перегортання" навіть не зберегло початкового розповсюдження. (Це повністю змінило підтримку.) Тож, здавалося б, все, що ви робите, це заміна одного дистрибутива на інший. Здається, тут взагалі не існує жодного принципу.

— whuber

@whuber: він замінив одне розподіл з іншим за допомогою рівномірних області навколо 5 і 6 були незмінними - так само, я думаю , що зменшення масштаб намагається залишити щільності без змін в оригінальних кругах в парадоксі Бертрана .

— Ніл Г

@whuber: Ти маєш рацію. Мені дуже сподобалася відповідь Картоплі на одне із моїх запитань. Я особисто думаю, що якщо є розбіжність між теорією та інтуїцією, нам слід шукати нові, більш повні теорії. Можливо, "принцип байдужості" не зовсім правильний, або взагалі не працює, але в мене є природне бажання теорії ймовірностей відповідати на питання, щодо яких ми розуміємо інтуїтивно. Можливо, Лебесг був такий же гнів щодо інтеграції Рімана, коли він створив свій інтеграл?

— Ніл Г

$A = [5 - \frac{\epsilon}{2} , 5 + \frac{\epsilon}{2}]$ $B = [5 - \frac{\epsilon}{4} , 5 + \frac{\epsilon}{4}] \cup [6 - \frac{\epsilon}{4} , 6 + \frac{\epsilon}{4}]$ $\epsilon \to 0$

$(X_1, X_2) \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ $X_1$ $X_2 = 0$ $P(\xi = a) = 0$

Отже, так, ви можете надати сенсу умові щодо подій, що вимірюють нуль.

— Yair Daon
джерело

U \sim U [0, 10]

$U\sim \text{U}[0,10]$

0

$0$

10

$10$

A = {0}

$A=\{0\}$

B = {0, 6}

$B=\{0,6\}$

P (A | B) = 1 / 2

$P(A|B)=1/2$

[0, 10]

$[0,10]$

1 / 3

$1/3$

5

$5$

0

$0$

0

$0$

ε

$\varepsilon$

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{\int_{5 - \frac{ε}{4}}^{5 + \frac{ε}{4}} f (u) d u}{\int_{5 - \frac{ε}{4}}^{5 + \frac{ε}{4}} f (u) d u + \int_{6 - \frac{ε}{4}}^{6 + \frac{ε}{4}} f (u) d u} = \frac{\frac{ε}{2}}{\frac{ε}{2} + \frac{ε}{2}} = 0.5

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\int\limits_{5 - \frac{\varepsilon }{4}}^{5 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} }}{{\int\limits_{5 - \frac{\varepsilon }{4}}^{5 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} + \int\limits_{6 - \frac{\varepsilon }{4}}^{6 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} }} = \frac{{\frac{\varepsilon }{2}}}{{\frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2}}} = 0.5$

[5 - \frac{ε}{8}, 5 + \frac{ε}{8}]

$\left[ {5 - \frac{\varepsilon }{8},5 + \frac{\varepsilon }{8}} \right]$

\frac{1}{8}

${\frac{1}{8}}$

Це чудово для інтуїції, показавши, що немає однозначної відповіді: це основа для заяви Колмогорова, яку цитує @ Xi'an. Те, що вам довелося змінити процедуру, щоб все вийшло так, як ви думали, що вони повинні сповістити вас про проблеми з таким підходом.

— whuber

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1} = 0

$X_1=0$