Що зближується швидше, середньо чи середньо?

Якщо я намалюю змінні iid з N (0,1), чи буде середня величина або медіана швидше сходиться? На скільки швидше?

Щоб бути більш конкретним, нехай - це послідовність iid змінних, проведених з N (0,1). Визначте , а є медіаною . Що швидше сходиться на 0, або ? $x_1, x_2, \ldots$ $\bar{x}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ $\tilde{x}_n$ $\{x_1, x_2, \ldots x_n\}$ $\{\bar{x}_n\}$ $\{\tilde{x}_n\}$

Для конкретності того, що означає швидше зближуватися: чи існує ? Якщо так, то що це? $\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$

normal-distribution mean median

— Джош Браун Крамер
джерело

Ви запитуєте про збіжність у ймовірності точкової оцінки відносно параметру сукупності? Або ви питаєте про конвергенцію в розподілі випадкової величини?

— Райан Сіммонс

Під "швидшим зближенням до 0" ви маєте на увазі "який має меншу асимптотичну дисперсію" чи щось інше?

— Glen_b -Встановіть Моніку

@Glen_b Якоюсь мірою це мотивовано реальною проблемою: медіана є більш стійкою проти виснажувачів, тому здається, що серединна вибірка повинна збільшитися швидше, ніж середня величина, коли розмір вибірки зростає. Я насправді не знаю, який найкращий спосіб виразити швидкість конвергенції в цій ситуації. Для конкретності я можу запитати, чи існує

lim_{n \to \infty} V a r ({\bar{X}}_{n}) / V a r ({\tilde{X}}_{n})

$\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$ , і якщо так, то що це таке.

— Джош Браун Крамер

Якщо дані справді вибираються із звичайного розподілу, люди, що переживають люди, є надзвичайно рідкісними - настільки рідкісними, що вплив на середню кількість вибірки означає як найбільш ефективну оцінку популяції. Але вам не потрібен різкий важкий хвіст, щоб зробити медіану конкурентоспроможною. Це співвідношення, яке ви згадуєте, дійсно буде приблизно 0,63

— Glen_b -Встановіть Моніку

Середнє значення та медіана в цьому конкретному випадку однакові. Відомо, що середня ефективність як середня на 64%, тому середня швидша конвергенція. Я можу написати більше деталей, але wikipedia точно стосується вашого питання.

— Yair Daon
джерело

У вас є цитування?

— Джош Браун Крамер

Laplace, PSde (1818) Додаток Deuxième à la Théorie Analytique des Probabilités , Париж, Курсьє - Лаплас дає асимптотичний розподіл як середнього, так і медіанного. Дивіться також розділ про дисперсію медіани у Вікіпедії

— Glen_b -Встановити Моніку

@Glen_b: (+1) остаточне посилання !!!

— Сіань

@Glen_b Так, це була епічна відповідь, я сміявся досить сильно. Дякую за це!

— користувач541686

@ xi'an ти мав на увазі написати, що середня і медіана однакові?

— Yair Daon