Чи є медіана тип середнього для деякого узагальнення “середнього”?

Поняття "середній" бродить набагато ширше, ніж традиційне середнє арифметичне; чи розтягується воно так далеко, щоб включати медіану? За аналогією,

$$\text{raw data} \overset{\text{id}}{\longrightarrow} \text{raw data} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{raw mean} \overset{\text{id}^{-1}}{\longrightarrow} \text{arithmetic mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{recip}}{\longrightarrow} \text{reciprocals} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean reciprocal} \overset{\text{recip}^{-1}}{\longrightarrow} \text{harmonic mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{log}}{\longrightarrow} \text{logs} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean log} \overset{\text{log}^{-1}}{\longrightarrow} \text{geometric mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{square}}{\longrightarrow} \text{squares} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean square} \overset{\text{square}^{-1}}{\longrightarrow} \text{root mean square} \\ \text{raw data} \overset{\text{rank}}{\longrightarrow} \text{ranks} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean rank} \overset{\text{rank}^{-1}}{\longrightarrow} \text{median}$$

Аналогія, яку я малюю, полягає в квазіарифметичному середньому , заданому:

$$M_f(x_1,\dots,x_n)=f^{-1}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i) \right)$$

Для порівняння, коли ми говоримо, що медіана набору даних із п’яти елементів дорівнює третьому елементу, ми можемо бачити, що це рівнозначно ранжируванню даних від одного до п'яти (що ми можемо позначити функцією ); взяття середнього значення перетворених даних (що становить три); і відчитування значення елемента даних, який мав третє місце (свого роду ).$f$$f^{-1}$

У прикладах середніх геометричних значень, гармонічного середнього та RMS, була фіксованою функцією, яка може застосовуватися до будь-якого числа ізольовано. Навпаки, або присвоєння звання, або повернення з рангів до вихідних даних (інтерполяція, де це необхідно) вимагає знання всього набору даних. Більше того, у визначеннях, які я читав про квазіарифметичне середнє значення, повинно бути безперервним. Чи вважається медіана колись особливим випадком середнього квазіарифметичного значення, і якщо так, то визначається ? Або медіана коли-небудь описується як примірник якогось іншого більш широкого поняття "середній"? Квазіарифметичне середнє, безумовно, не єдине наявне узагальнення.$f$$f$$f$

Частина питання є термінологічною (що означає "все-таки" все-таки, особливо на відміну від "центральної тенденції" чи "середньої"?). Наприклад, у літературі для нечітких систем управління функція агрегації є функцією, що збільшується з і ; функція агрегації, для якої для всіх x, y \ in [a, b] називається "середнім" (у загальний сенс). Таке визначення, зайве сказати, неймовірно широке! І в цьому контексті медіану справді називають типом середнього. ^ {[1]}$F:[a,b] \times [a,b] \to [a,b]$$F(a,a)=a$$F(b,b)=b$$\min(x,y) \leq F(x,y) \leq \max(x,y)$[ 1 $x,y \in [a,b]$$^{[1]}$Мені цікаво, чи можуть менш широкі характеристики середнього значення поширюватися досить далеко, щоб охопити медіану - так зване узагальнене середнє (яке краще можна описати як "середнє значення") та значення Лемера - ні, але інші можуть . Чому це варте, Вікіпедія включає «медіану» у свій список «інших засобів» , але без додаткових коментарів чи цитування.

$[1]$ : таке широке визначення середнього значення, яке належним чином розширене для більш ніж двох входів, здається стандартним у сфері нечіткого контролю та багато разів підстригається під час пошуку в Інтернеті для випадків, коли медіана описується як медіана; Я цитую, наприклад, Fodor, JC, & Rudas, IJ (2009), " Про деякі класи міграційних функцій агрегації ", IFSA / EUSFLAT Conf. (с. 653-656). До речі, у цій роботі відзначається, що одним із перших користувачів терміна "середній" ( moyenne ) був Коші в політехніці Cours d'analyse de l'École royale, 1ère partie; Проаналізуйте algébrique (1821). Пізніші внески Aczél , Chisini ,і де Фінетті в розробці більш загальних понять "середній", ніж Коші, визнані у Fodor, J., and Roubens, M. (1995), " Про осмисленість засобів ", Журнал обчислювальної та прикладної математики , 64 (1), 103-115.

Ось один із способів, як ви можете розглянути медіану як "загальну середню різновид" - спочатку уважно визначте звичайне середнє арифметичне в статистиці порядку

$$\bar{x} = \sum_i w_i x_{(i)},\qquad w_i=\frac{_1}{^n}\,.$$

Потім замінюючи звичайну середню статистику замовлень на якусь іншу вагову функцію, ми отримуємо поняття «узагальнене середнє», яке враховує порядок.

У цьому випадку безліч потенційних заходів центру стають "узагальненими видами засобів". У випадку з медіаною для непарних , і всіх інших дорівнює 0, а для парних , .w ( n + 1 ) / 2 = 1 $n$$w_{(n+1)/2}=1$$n$$w_{\frac{n}{2}}=w_{\frac{n}{2}+1}=\frac{1}{2}$

Аналогічно, якщо ми подивимось на M-оцінку , оцінки розташування також можна розглядати як узагальнення середнього арифметичного (де для середнього значення квадратичне, є лінійним або вага-функція плоским), і медіана потрапляє також у цей клас узагальнень. Це дещо інше узагальнення, ніж попереднє.$\rho$$\psi$

Існує безліч інших способів, як ми можемо розширити поняття "середній", що може включати медіану.

Якщо ви вважаєте середнє значення як точку, що мінімізує функцію квадратичного втрати SSE, то медіана - це точка, що мінімізує функцію лінійних втрат MAD, а режим - точка, що мінімізує деяку функцію втрати 0-1. Ніяких перетворень не потрібно.

Отже, медіана є прикладом середнього фрешету .

Одне легке, але плідне узагальнення - це зважені засоби , де . Очевидно, що звичайна або садова середня є найпростішим спеціальним випадком з рівними вагами .∑ n i = 1 w i = 1 w i = 1 /$\sum_{i=1}^n w_i x_i / \sum_{i=1}^n w_i,$$\sum_{i=1}^n w_i = 1$$w_i = 1/n$

Дозволити ваги залежати від порядку значень величин, від найменшого до найбільшого, вказує на різні інші особливі випадки, зокрема на ідею підстриженого середнього , що відомо і іншими назвами.

Щоб уникнути надмірного вживання позначень там, де це не потрібно або особливо корисно, уявіть, наприклад, ігнорування найменших та найбільших значень та взяття (однаково зваженого) значення серед інших. Або уявіть ігнорування двох найменших та двох найбільших та прийняття середнього значення для інших; і так далі. Найбільш енергійне обрізання ігнорувало б усі, крім одного або двох середніх значень, в порядку, залежно від того, чи було число значень непарним чи парним, що, природно, є лише звичною медіаною . Ніщо в ідеї обрізки не зобов’язує вас ігнорувати однакові цифри в кожному хвості зразка, але сказати більше про асиметричне обрізання відведе нас від основної ідеї в цій нитці.

Коротше кажучи, засоби (некваліфіковані) та медіани є крайньо обмежуючими випадками сімейства (симетричних) підстрижених засобів. Загальна ідея полягає в тому, щоб дозволити компроміси між одним ідеалом використання всієї інформації в даних та іншим ідеалом захисту себе від екстремальних точок даних, які можуть бути ненадійними людьми.

Дивіться посилання тут для одного досить недавнього огляду.

Питання пропонує нам охарактеризувати поняття "середній" у досить широкому сенсі, щоб охопити всі звичні засоби - засоби влади, означає, медіани, обрізані засоби - але не настільки широко, що воно стає майже марним для даних аналіз. У цій відповіді обговорюються деякі аксіоматичні властивості, які має мати будь-яке досить корисне визначення поняття "середній".$L^p$

---

Основні аксіоми

Корисно широким визначенням "середнього" для аналізу даних буде будь-яка послідовність чітко визначених детермінованих функцій для і такі, щоA ⊂ R n = 1 , 2 , $f_n:A^n\to A$$A\subset\mathbb{R}$$n=1, 2, \ldots$

(1) для всіх (середнє значення лежить між крайнощами),x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) ∈ A $\newcommand{\x}{\mathrm{x}} \newcommand{\min}{\text{min}}\min (\x)\le f_n(\x)\le \max(\x)$$\x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\in A^n$

(2) є інваріантним під перестановкою своїх аргументів (засоби не дбають про порядок даних), і$f_n$

(3) кожен зменшується в кожному з своїх аргументів (у міру збільшення чисел їх середнє значення не може зменшуватися).$f_n$

Ми повинні дозволити бути належним набором реальних чисел (таких як усі додатні числа), оскільки безліч засобів, таких як геометричні засоби, визначені лише для таких підмножин.$A$

Ми також могли б цього додати

(1 ') існує принаймні деякі для яких (засоби не є крайнощами). (Ми не можемо вимагати, щоб це завжди виконувались. Наприклад, медіана дорівнює , що є мінімальним.)min ( x ) ≠ f n ( x ) ≠ max ( x ) ( 0 , 0 , … , 0 , 1 ) $\x\in A$$\min(\x)\ne f_n(\x)\ne \max(\x)$$(0,0,\ldots,0,1)$$0$

Ці властивості, здається, охоплюють ідею "середнього", що є якоюсь "середньою цінністю" набору даних (не упорядкованих).

Аксіоми консистенції

Мене ще більше спокушає визначити досить менш очевидний критерій узгодженості

(4.a) Діапазон оскільки змінюється протягом інтервалу включає . Іншими словами, завжди можна залишити середнє значення незмінним, додавши відповідне значення до набору даних. У поєднанні з (3), це означає, що приєднання крайніх значень до набору даних потягне за собою середнє значення до цих крайнощів.t [ хв ( х ) , макс ( х ) ] f n ( x ) $f_{n+1}(t, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$t$$[\min(\x), \max(\x)]$$f_n(\x)$$t$

Якщо ми хочемо застосувати поняття середнього значення до розподілу або "нескінченної сукупності", то одним із способів було б його отримання в межах довільно великих випадкових вибірок. Звичайно, обмеження може не завжди існувати (воно не існує для середньої арифметичної, коли розподіл не очікує, наприклад). Тому я не хочу вводити будь-які додаткові аксіоми, щоб гарантувати існування таких меж, але наступне видається природним і корисним:

(4.b) Щоразу, коли обмежений і - послідовність зразків з розподілу підтримуваного на , тоді межа майже напевно існує. Це запобігає тому, щоб середнє значення назавжди «підстрибувало» в межах навіть якщо розміри зразків стають все більшими та більшими.x n F A f n ( x n ) $A$$\x_n$$F$$A$$f_n(\x_n)$$A$

У той же самий напрямок ми могли б ще більше звузити думку про те, щоб наполягати на тому, щоб вона стала кращою оцінкою "місця розташування" у міру збільшення розмірів вибірки:

(4.c) Щоразу, коли обмежений, то дисперсія розподілу вибірки для випадкового вибірки з не зменшується в .$A$$f_n(X^{(n)})$$X^{(n)} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$$F$$n$

Аксіома неперервності

Ми можемо розглянути питання про те, щоб попросити засоби "добре" змінити дані:

(5) є окремо безперервним у кожному аргументі (невелика зміна значень даних не повинна викликати раптового стрибка середнього значення).$f_n$

Ця вимога може усунути деякі дивні узагальнення, але вона не виключає жодного відомого значення. Це виключить деякі функції агрегації.

Аксіома інваріантності

Ми можемо уявити засоби, що застосовують до даних про інтервали або відношення (у загальновідомому сенсі Стівенса). Ми не можемо вимагати, щоб вони були інваріантними при зміщенні місця (геометричне середнє значення немає), але ми можемо вимагати

(6) для всіх і всіх для яких . Це говорить лише про те, що ми можемо обчислити використовуючи будь-які одиниці вимірювання, які ми любимо.$f_n(\lambda \x) = \lambda f_n(\x)$$\x \in A^n$$\lambda \gt 0$$\lambda \x \in A^n$$f_n$

Усі засоби, згадані у питанні, задовольняють цю аксіому, за винятком деяких функцій агрегації.

---

Обговорення

Загальні функції агрегації , як описано в запитанні, не обов'язково задовольняють аксіоми (1 '), (2), (3), (5) або (6). Чи задовольняють вони якісь аксіоми консистенції, може залежати від того, як вони поширюються на .$f_2$$n\gt 2$

Звичайна серединна проба має всі ці аксіоматичні властивості.

Ми могли б збільшити аксіоми послідовності, які слід включити

(4.d) для всіх$f_{2n}(\x;\x) = f_n(\x)$$\x \in A^n.$

Це означає, що коли всі елементи набору даних повторюються однаково часто, середнє значення не змінюється. Це може бути занадто сильним: середнє значення Winsorized не має цієї властивості (крім асимптотики). Метою Winsorizing на рівні є опір проти змін принаймні даних в будь-якій крайності. Наприклад, середнє середнє значення арифметики - - середнє арифметичне , що дорівнює , але середнє значення 10-ти вимкнено - .$100\alpha\%$ $100\alpha\%$$(1,2,3,6)$$(2,2,3,3)$$2.5$$(1,1,2,2,3,3,6,6)$$3.5$

Я не знаю, яка з аксіом консистенції (4.a), (4.b) або (4.c) була б найбільш бажаною чи корисною. Вони здаються незалежними: я не думаю, що жодне з них означає третє.

Я думаю, що медіану можна вважати типом узагальнення середнього арифметичного. Зокрема, середнє арифметичне та медіана (серед інших) можуть бути уніфіковані як особливі випадки середнього чисіні. Якщо ви збираєтесь виконати деяку операцію над набором значень, середнє значення Chisini - це число, яке ви можете замінити всі вихідні значення в наборі і все одно отримати однаковий результат. Наприклад, якщо ви хочете підсумувати свої значення, заміна всіх значень середнім арифметичним дасть ту саму суму. Ідея полягає в тому, що певне значення є репрезентативним числом у множині в контексті певної операції над цими числами. (Цікавим наслідком такого способу мислення є те, що задане значення - середнє арифметичне - може вважатися репрезентативним лише за умови, що ти робиш певні речі з цими числами.)

Це менш очевидно для медіани (і зауважу, що медіана не зазначається як один із засобів Кисіні у Вольфрамі чи Вікіпедії ), але якби ви дозволяли проводити операції над рангами, медіана могла б вписатись у ту саму ідею.

Питання недостатньо чітко визначене. Якщо ми погоджуємось із загальним "вуличним" визначенням середнього значення як суми n чисел, поділених на n, то у нас є частки землі. Далі Якщо ми подивимось на заходи центральної тенденції, можна сказати, що середня та середня - це генереалізація, але не одна від одної. Частина мого фону є не параметричними, тому мені подобається медіана та надійність, яку вона надає, інваріантність монотонної трансформації тощо. але кожен захід має своє місце залежно від об'єктивної.