Створити рівномірно розподілені ваги, які дорівнюють одиниці?

Загальноприйнято використовувати ваги в таких програмах, як моделювання сумішей та лінійно поєднувати основні функції. Ваги часто повинні підкорятися 0 і . Я хотів би випадковим чином вибрати вектор ваги з рівномірного розподілу таких векторів.$w_i$$w_i ≥$$\sum_{i} w_i=1$$\mathbf{w} = (w_1, w_2, …)$

Можливо, використовувати де U (0, 1), однак, як обговорюється в коментарях нижче, розподіл \ mathbf {w } не є рівномірним.$w_i = \frac{\omega_i}{\sum_{j} \omega_j}$$\omega_i \sim$$\mathbf{w}$

Однак, враховуючи обмеження $\sum_{i} w_i=1$ , видається, що основна розмірність задачі дорівнює $n-1$ , і що слід вибрати можливість $\mathbf{w}$ , вибравши параметри $n-1$ відповідно до деякий розподіл, а потім обчислення відповідних $\mathbf{w}$ з цих параметрів (оскільки як тільки вказано $n-1$ ваг, вага, що залишилася, повністю визначається).

Проблема, схоже, на проблему вибору точок сфери (але, замість вибору 3-векторів, норма $ℓ_2$ - це єдність, я хочу вибрати $n$ векторів, норма $ℓ_1$ - це єдність).

Спасибі!

Виберіть рівномірно (за допомогою рівномірних виводів в інтервалі ). Сортуйте коефіцієнти так, щоб . Встановити n - 1 [ 0 , 1 ] 0 ≤ x 1 ≤ ⋯ ≤ x n - $\mathbf{x} \in [0,1]^{n-1}$$n-1$$[0,1]$$0 \le x_1 \le \cdots \le x_{n-1}$

Оскільки ми можемо відновити відсортований за допомогою часткових сум , відображення єдо 1; зокрема, його зображення - симплекс у . Оскільки (a) кожен своп у сорту є лінійним перетворенням, (b) попередня формула є лінійною, і (c) лінійні перетворення зберігають рівномірність розподілів, то рівномірність передбачає рівномірність на симплекс. Зокрема, зауважте, що поля не обов'язково є незалежними.w i x → w ( n - 1 ) ! n - 1 R n x w n - 1 $x_i$$w_i$$\mathbf{x} \to \mathbf{w}$$(n-1)!$$n-1$$\mathbb{R}^n$$\mathbf{x}$$\mathbf{w}$ $n-1$$\mathbf{w}$

Цей 3D-точковий графік показує результати 2000 ітерацій цього алгоритму при . Точки приурочені до симплексу і приблизно рівномірно розподілені по ньому.$n=3$

Оскільки час виконання цього алгоритму дорівнює , він є неефективним для великих . Але це відповідає на питання! Кращий спосіб (загалом) для отримання рівномірно розподілених значень на -простому - намалювати рівномірних цифр на інтервалі , обчислитиn n - 1 n ( x 1 , … , x n ) [ 0 , 1 $O(n \log(n)) \gg O(n)$$n$$n-1$$n$$(x_1, \ldots, x_n)$$[0,1]$

(що робить кожен позитивним з ймовірністю , звідки їх сума майже напевно не нульова) і встановлюємо$y_i$$1$

Це працює, тому що кожен має розподіл , що означає, що має розподіл Діріхле - і це рівномірно. Γ ( 1 ) w ( 1 , 1 , 1 $y_i$$\Gamma(1)$$\mathbf w$$(1,1,1)$

    zz <- c(0, log(-log(runif(n-1))))
    ezz <- exp(zz)
    w <- ezz/sum(ezz)

Перший запис ставиться до нуля для ідентифікації; ви б бачили, що зроблено у багаточленних логістичних моделях. Звичайно, у мультиноміальних моделях у вас також будуть ковариати під показниками, а не просто випадкові zzs. Розподіл zzs - це розподіл крайньої величини; вам знадобиться це для того, щоб переконатися, що отримані ваги є, я спочатку поклав rnormаль, але потім у мене було відчуття, що це не спрацює.

Рішення очевидно. Наступний код MathLab дає відповідь на 3 ваги.

function [  ] = TESTGEN( )
SZ  = 1000;
V  = zeros (1, 3);
VS = zeros (SZ, 3);
for NIT=1:SZ   
   V(1) = rand (1,1);     % uniform generation on the range 0..1
   V(2) = rand (1,1) * (1 - V(1));
   V(3) = 1 - V(1) - V(2);  
   PERM = randperm (3);    % random permutation of values 1,2,3
   for NID=1:3
         VS (NIT, NID) = V (PERM(NID));
    end
end 
figure;
scatter3 (VS(:, 1), VS(:,2), VS (:,3));
end