Використання фільтрів Калмана для імпулювання пропущених значень у часових рядах

12

Мене цікавить, як можна використовувати фільтри Kalman для імпультування пропущених значень у даних часових рядів. Чи це також застосовно, якщо відсутні деякі послідовні моменти часу? Я не можу багато знайти на цю тему. Будь-які пояснення, коментарі та посилання вітаються та цінуються!

data-imputation kalman-filter

— GS9
джерело

Вас може зацікавити ця публікація . Він наводить приклад, заснований на представленні простору стану моделі ARIMA для імпультування відсутніх значень за допомогою фільтра Калмана.

— javlacalle

@javlacalle дякую, я вже знав цю посаду, і це чудовий приклад для конкретного втілення. Але мене швидше цікавить теоретичне підґрунтя.

— GS9

9

Передумови: фільтрація Кальмана :

Кальманські фільтри працюють на державно-просторових моделях форми (існує кілька способів її написання; це простий на основі Дурбіна та Коопмана (2012) ; все наступне базується на тій книзі, яка є чудовою):

\begin{aligned} y_{t} & = Z α_{t} + ε_{t} & ε_{t} \sim N (0, H) \\ α_{t_{1}} & = T α_{t} + η_{t} & η_{t} \sim N (0, Q) \\ α_{1} & \sim N (a_{1}, P_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} y_t & = Z \alpha_t + \varepsilon_t \qquad & \varepsilon_t \sim N(0, H) \\ \alpha_{t_1} & = T \alpha_t + \eta_t & \eta_t \sim N(0, Q) \\ \alpha_1 & \sim N(a_1, P_1) \end{align}$

де - це спостережуваний ряд (можливо, із відсутніми значеннями), але повністю не помічений. Перше рівняння (рівняння "вимірювання") говорить про те, що спостережувані дані певним чином пов'язані з неспостережуваними станами. Друге рівняння («перехідне» рівняння) говорить про те, що неспостережувані стани розвиваються з часом певним чином. $y_t$ $\alpha_t$

Фільтр Калмана працює для пошуку оптимальних оцінок ( вважається нормальним: , тому те, що насправді робить фільтр Калмана, - це обчислити умовне середнє значення та дисперсію розподілу для залежить від спостережень до часу ). $\alpha_t$ $\alpha_t$ $\alpha_t \sim N(a_t, P_t)$ $\alpha_t$ $t$

У типовому випадку (коли доступні спостереження) фільтр Калмана використовує оцінку поточного стану та поточного спостереження щоб зробити найкраще, щоб оцінити наступний стан , таким чином: $y_t$ $\alpha_{t+1}$

\begin{aligned} a_{t + 1} & = T a_{t} + K_{t} (y_{t} - Z α_{t}) \\ P_{t + 1} & = T P_{t} (T - K_{t} Z)^{'} + Q \end{aligned}

$\begin{align} a_{t+1} & = T a_t + K_t (y_t - Z \alpha_t) \\ P_{t+1} & = T P_t (T - K_t Z)' + Q \end{align}$

де - "виграш Кальмана". $K_t$

Коли немає спостереження, фільтр Кальмана все ще хоче обчислити і найкращим чином. Оскільки недоступний, він не може використовувати рівняння вимірювання, але все ж може використовувати рівняння переходу . Таким чином, коли відсутня, замість цього фільтр Kalman обчислює: $a_{t+1}$ $P_{t+1}$ $y_t$ $y_t$

\begin{aligned} а_{т + 1} & = Т а_{т} \\ П_{т + 1} & = Т П_{т} Т^{'} + Q \end{aligned}

$\begin{align} a_{t+1} & = T a_t \\ P_{t+1} & = T P_t T' + Q \end{align}$

По суті, це говорить про те, що з урахуванням , я найкраще здогадуюсь про без даних - це лише еволюція, визначена в перехідному рівнянні. Це може бути виконано протягом будь-якої кількості періодів часу з відсутніми даними. $\alpha_t$ $\alpha_{t+1}$

Якщо є дані , то перший набір рівнянь фільтрування найкраще здогадується без даних і додає "виправлення", виходячи з того, наскільки хороша була попередня оцінка. $y_t$

Імпульсивні дані :

Після того , як фільтр Калмана був застосований до всього діапазону часу, ви отримаєте оптимальні оцінки станів для . Далі імпультування даних просте за допомогою рівняння вимірювання. Зокрема, ви просто підраховуєте: $a_t, P_t$ $t = 1, 2, \dots, T$

{\hat{у}}_{т} = Z а_{т}

$\hat y_t = Z a_t$

Щодо довідки, Дурбін та Коопман (2012) є чудовими; Розділ 4.10 обговорює відсутні спостереження.

Дурбін, Дж. Та Коопман, SJ (2012). Аналіз часових рядів методами простору стану (№ 38). Oxford University Press.

— cfulton
джерело

Використання більш гладкого рішення мало б більше сенсу для введення даних (оскільки в них уже є всі (не пропущені) дані, чому б не використати інформацію також у майбутніх значеннях)

— Juho Kokkala

0

Приклад у публікації, на який вказує javlacalle, містить послідовні пропущені моменти часу. Вас також можуть зацікавити інтервали навколо введених (у вибірці прогнозованих) значень, обчислення яких відображається в цій статті про космічний простір , у розділі 2.1.

Інший документ, який може бути цікавим, - це цей .

— Уейн
джерело