Майже впевнене, що конвергенція не означає повного зближення

Ми говоримо, що повністю сходяться до якщо для кожного .$X_1, X_2, \ldots$$X$$\epsilon>0$ $\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$

З лемою Бореля Кантеллі прямо вперед, щоб довести, що повна конвергенція передбачає майже впевнену конвергенцію.

Я шукаю приклад, були майже впевнені, що конвергенцію неможливо довести з Борелем Кантеллі. Це послідовність випадкових змінних, яка сходиться майже точно, але не повністю.

Дозволяє $\Omega=(0,1)$ із сигмою-алгеброю Бореля $\mathfrak{F}$ і рівномірний захід $\mu$. Визначте

і $X_n(\omega)=0$інакше. The$X_n$ очевидно вимірюються на просторі ймовірностей $(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$.

Для будь-якого $\omega\in\Omega$ і все $N \gt 1/\omega$ це так і є $X_n(\omega)=0$. Таким чином, за визначенням послідовність$(X_n)$ сходиться до $0$ (не просто майже точно!).

Однак, коли завгодно $0 \lt \epsilon \lt 1$, $\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$, звідки

який розходиться до .$\infty$