Як генерувати випадкові автоматичні корельовані дані двійкових часових рядів?

Як я можу генерувати двійкові часові ряди таким чином:

1. Вказується середня ймовірність спостереження 1 (скажімо, 5%);
2. Умовна ймовірність спостереження 1 за час задана величина при (скажімо 30%, якщо значення було 1)?$t$$t-1$$t-1$

Використовуйте дводержавний ланцюг Маркова.

Якщо стани називаються 0 і 1, то ланцюг може бути представлена ​​матрицею 2x2 дає ймовірності переходу між станами, де - ймовірність переходу зі стану в стан . У цій матриці кожен рядок повинен становити 1,0.$P$$P_{ij}$$i$$j$

З твердження 2 маємо , а просте збереження тоді говорить .$P_{11} = 0.3$$P_{10} = 0.7$

З твердження 1 потрібно, щоб довгострокова ймовірність (також її називають рівноважною або стаціонарною) була . Це говорить Розв’язування дає і матрицю переходу$P_1 = 0.05$

(Ви можете перевірити матрицю переходу на правильність, піднявши її до високої потужності - у цьому випадку 14 виконує роботу - кожен рядок результату дає однакові ймовірності стаціонарного стану)

Тепер у вашій програмі випадкових чисел почніть з випадкового вибору стану 0 або 1; це вибирає, який рядок ви використовуєте. Потім використовуйте рівномірне випадкове число, щоб визначити наступний стан. Виплюньте це число, промийте, повторіть по мірі необхідності.$P$

Я взяв тріщину при кодування відповіді @Mike Anderson в R. Я не міг зрозуміти, як це зробити за допомогою sapply, тому я використав цикл. Я трохи змінив пробники, щоб отримати більш цікавий результат, і я використав 'A' і 'B' для представлення станів. Дайте мені знати, що ви думаєте.

set.seed(1234)
TransitionMatrix <- data.frame(A=c(0.9,0.7),B=c(0.1,0.3),row.names=c('A','B'))
Series <- c('A',rep(NA,99))
i <- 2
while (i <= length(Series)) {
    Series[i] <- ifelse(TransitionMatrix[Series[i-1],'A']>=runif(1),'A','B')
    i <- i+1
}
Series <- ifelse(Series=='A',1,0)
> Series
  [1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1
 [38] 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 [75] 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

/ редагувати: У відповідь на коментар Павла, ось більш елегантна формулювання

set.seed(1234)

createSeries <- function(n, TransitionMatrix){
  stopifnot(is.matrix(TransitionMatrix))
  stopifnot(n>0)

  Series <- c(1,rep(NA,n-1))
  random <- runif(n-1)
  for (i in 2:length(Series)){
    Series[i] <- TransitionMatrix[Series[i-1]+1,1] >= random[i-1]
  }

  return(Series)
}

createSeries(100, matrix(c(0.9,0.7,0.1,0.3), ncol=2))

Я написав оригінал коду, коли я тільки вивчав R, тому скоротив мене трохи. ;-)

Ось як можна оцінити матрицю переходу, враховуючи ряд:

Series <- createSeries(100000, matrix(c(0.9,0.7,0.1,0.3), ncol=2))
estimateTransMatrix <- function(Series){
  require(quantmod)
  out <- table(Lag(Series), Series)
  return(out/rowSums(out))
}
estimateTransMatrix(Series)

   Series
            0         1
  0 0.1005085 0.8994915
  1 0.2994029 0.7005971

Порядок замінюється на мою оригінальну матрицю переходу, але він отримує правильні ймовірності.

Ось відповідь на основі markovchainпакету, який можна узагальнити до складніших структур залежності.

library(markovchain)
library(dplyr)

# define the states
states_excitation = c("steady", "excited")

# transition probability matrix
tpm_excitation = matrix(
  data = c(0.2, 0.8, 0.2, 0.8), 
  byrow = TRUE, 
  nrow = 2,
  dimnames = list(states_excitation, states_excitation)
)

# markovchain object
mc_excitation = new(
  "markovchain",
  states = states_excitation,
  transitionMatrix = tpm_excitation,
  name = "Excitation Transition Model"
)

# simulate
df_excitation = data_frame(
  datetime = seq.POSIXt(as.POSIXct("01-01-2016 00:00:00", 
                                   format = "%d-%m-%Y %H:%M:%S", 
                                   tz = "UTC"), 
                        as.POSIXct("01-01-2016 23:59:00", 
                                   format = "%d-%m-%Y %H:%M:%S", 
                                   tz = "UTC"), by = "min"),
  excitation = rmarkovchain(n = 1440, mc_excitation))

# plot
df_excitation %>% 
  ggplot(aes(x = datetime, y = as.numeric(factor(excitation)))) + 
  geom_step(stat = "identity") + 
  theme_bw() + 
  scale_y_discrete(name = "State", breaks = c(1, 2), 
                   labels = states_excitation)

Це дає вам:

Я втратив інформацію про папір, де був описаний такий підхід, але тут ідеться.

Розкладіть матрицю переходу на

$1-p_t$$p_t$$p_0$

$p_t$$T_{11}$$T_{11} = (1-p_t)+p_t(1-p_0)$

Однією з корисних особливостей цього розкладу є те, що він досить прямо узагальнює клас класу корельованих моделей Маркова у задачах з більшими розмірами.