колиє неперервною змінною

Я знаю, що для безперервної змінної . $P[X=x]=0$

Але я не можу уявити, що якщо , існує нескінченна кількість можливих 's. А також чому їх вірогідність стає нескінченно малою? $P[X=x]=0$ $x$

— час
джерело

можливий дублікат Умовна ймовірність безперервної змінної

— Сіань

Вже є два голоси, щоб закрити це питання як дублікат. Я не згоден. Це досить основна тема, одна з тих, яка, ймовірно, з’явиться в майбутньому, тому було б добре, якби вона мала пряму і якісну відповідь, щоб ми могли на неї звернутися в майбутньому. Посилання, надане @ Xi'an, може сприйматися як дублікат, але також досить специфічне і важко знайти за допомогою пошуку. Посилання також не дає вичерпної відповіді, хоча ця загроза, схоже, сходиться до такої. Я думаю, що це слід залишити відкритим для подальшого використання.

— Тім

Це може допомогти розглянути зворотну ситуацію. Нехай

X

$X$

ϵ

$\epsilon$

ω

$\omega$

Pr (X = ω) \geq ϵ

$\Pr(X=\omega)\ge\epsilon$

ϵ + ϵ + \dots

$\epsilon+\epsilon+\cdots$

1

$1$

1

$1$

@Tim Дякую, але я розмістив цю думку як коментар, а не відповідь, тому що вона неповна: я не придумав елементарного способу пояснити, що відбувається в межах, як . Здається, потрібні певні знання про кардинальності нескінченних множин.

ϵ \to 0

$\epsilon\to 0$

— whuber

@ Xi'an Я погоджуюся, але запропонована вами нитка не є достатньо близьким дублікатом. Це важку річ для пошуку. Чи можливо вам відомі інші теми, які дублюють це питання?

— whuber

Відповіді:

Ймовірності є моделями відносних частот спостережень. Якщо спостерігається, що подія відбулася разів на випробувань, то її відносна частота є і, як правило, вважається, що числове значення вище співвідношення є близьким наближенням до коли "великий", де те, що означає "великий", краще залишити уяві (і довірливості) читача. $A$ $N_A$ $N$

relative frequency of (A) = \frac{N_{A}}{N}

$\text{relative frequency of }(A) = \frac{N_A}{N}$

P (A)

$P(A)$ $N$

Тепер було помічено, що якщо наша модель - це безперервна випадкова величина, то зразки мають чітких чисел. Таким чином, відносна частота конкретного числа (або, більш педантично, подія ) або $X$ $X$ $\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$ $N$ $x$ $\{X = x\}$ $\frac 1N$ якщо один з має значення , або якщо всі різні від . Якщо більш скептичний читач збирає додаткові зразків, відносна частота події є або $x_i$ $x$ $\frac 0N$ $x_i$ $x$ $N$ $\{X=x\}$ $\frac{1}{2N}$ або продовжує користуватися значенням . Таким чином, спокушається здогадатися, що слід присвоїти значення оскільки це є гарним наближенням до спостережуваної відносної частоти. $\frac 0N$ $P\{X = x\}$ $0$

Примітка: вищезазначене пояснення (як правило) задовільне для інженерів та інших, зацікавлених у застосуванні ймовірності та статистики (тобто тих, хто вважає, що аксіоми ймовірності були обрані так, щоб зробити теорію хорошою моделлю реальності), але абсолютно незадовільно багатьом іншим. Можна також підійти до вашого питання з чисто математичної чи статистичної точки зору та довести що повинно мати значення кожного разу, коли є суцільною випадковою змінною за допомогою логічних вирахувань з імовірностей аксіом і без будь-яких посилань відносна частота або фізичні спостереження тощо $P\{X = x\}$ $0$ $X$

— Діліп Сарват
джерело

+1 "Зауважте: наведене пояснення є задовільним для ... тих, хто вважає, що аксіоми ймовірності були обрані так, щоб зробити теорію гарною моделлю реальності), але абсолютно незадовільно ...", Інтернет-перевага - фразові фрази, lol

— gung - Відновіть Моніку

Я не розумію , що ви маєте в виду , що було помічено , що якщо неперервна, то ... $X$ . Як ми можемо це спостерігати?

— Стефан Лоран

@ StéphaneLaurent Це речення є дещо складним, тому воно може перечитати. Очищений деякими думками, зазначається, що "було помічено, що ... зразки ... це

чітких чисел". Іншими словами, коли передбачається , що має неперервний розподіл , то (майже напевно) не буде ніяких дублікатів в будь-якій кінцевій н.о.р. вибірки

. Це можна математично довести: це не просто спостереження.

N

$N$ $X$

X

$X$

— whuber

@ StéphaneLaurent Я думаю, що зауваження Діліпа робляться в іншому, ніж це. Ця відповідь не є спробою дати математично сувору демонстрацію, а дати певну інтуїцію та мотивацію факту, який спантеличує ОП. Мене заінтригує цей підхід, оскільки він має такий потенціал для усунення розриву між дискретною теорією ймовірностей, яку традиційно навчають початківцям, і багатшою загальною теорією ймовірності, заснованою на теорії мір.

— whuber

@whuber Я розумію дух, але на перший погляд я не був переконаний, що властивість no-tie є більш інтуїтивно зрозумілою, ніж властивість нульової ймовірності. Для

це дійсно те саме: "

N = 2

$N=2$

x_{2} is never x_{1}

$x_2 \text{ is never } x_1$

⟺

$\iff$

Pr (X_{2} = x_{1}) = 0

$\Pr(X_2=x_1)=0$

— Стефан Лоран

Нехай є базовим простором ймовірностей. Ми говоримо, що вимірювана функція - абсолютно неперервна випадкова величина, якщо міра ймовірності над визначена , відома як розподіл , переважає міра Лебега , якщо $(\Omega,\mathscr{F},P)$ $X:\Omega\to\mathbb{R}$ $\mu_X$ $(\mathbb{R},\mathscr{B})$ $\mu_X(B)=P\{X\in B\}$ $X$ $\lambda$ , в тому сенсі, що для кожного множини Бореля $B$ , то . У цьому випадку теорема Радона-Нікодима говорить нам, що існує вимірювана , визначена майже скрізь еквівалентністю, така, що $\lambda(B)=0$ $\mu_X(B)=0$ $f_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ . Нехай рахункове підмножина . Оскільки помітно аддитивна, . Але $\mu_X(B)=\int_B f(x)\,d\lambda(x)$ $B=\{x_1,x_2,\dots\}$ $\mathbb{R}$ $\lambda$ $\lambda(B)=\lambda\left(\cup_{i\geq 1}\{x_i\}\right)=\sum_{i\geq 1}\lambda(\{x_i\})$ для кожного . Зважаючи на властивість Архімеда дійсних чисел, оскільки , нерівність виконується для кожного якщо і лише тоді, коли , що означає, що . З припустимої абсолютної безперервності випливає, що

λ ({x_{i}}) = λ (\cap_{k \geq 1} [x_{i}, x_{i} + 1 / k)) \leq λ ([x_{i}, x_{i} + 1 / n)) = \frac{1}{n}, (*)

$\lambda(\{x_i\}) = \lambda\left(\cap_{k\geq 1}[x_i,x_i+1/k)\right) \leq \lambda\left([x_i,x_i+1/n)\right) = \frac{1}{n} \, ,\qquad (*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) \geq 0

$\lambda(\{x_i\})\geq 0$

(*)

$(*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) = 0

$\lambda(\{x_i\})=0$

λ (B) = 0

$\lambda(B)=0$

X

$X$

μ_{X} (B) = P {X \in B} = 0

$\mu_X(B)=P\{X\in B\}=0$

— Дзен
джерело

Безперервна випадкова величина не повинна бути абсолютно безперервною (вона не може мати щільності.)

— Zhanxiong

Балоні. "Неперервна випадкова величина" - це неофіційна назва для "випадкової змінної, яка абсолютно неперервна щодо міри Лебега". Отже, Радон-Нікодим гарантує існування щільності. Випадкова змінна з сингулярним розподілом (наприклад, Cantor) - різна річ. Ви вводите в оману потенційних студентів своїм фальшивим коментарем.

— Дзен

Коли ви когось критикували, будь ласка, покажіть цитовану цитату. У якій книзі з імовірністю сказано, що "Неперервна випадкова величина" - це неофіційна назва "випадкової змінної, яка абсолютно неперервна щодо міри Лебега" ? Крім того, цю проблему можна вирішити, не вимагаючи, щоб

має щільність, див. Моє доказ нижче.

X

$X$

— Zhanxiong

Вікіпедія не погоджується з вами, @ Солітарна: "Постійний розподіл ймовірностей - це розподіл ймовірностей, який має функцію щільності ймовірностей. Математики також називають такий розподіл абсолютно безперервним [...]".

— амеба

- неперервна випадкова величина, означає, що її функція розподілу є безперервною . Це єдина умова, але з якої ми можемо отримати, що . $X$ $F$ $P(X = x) = 0$

Насправді за неперервністю маємо для кожного , тому: $F$ $F(x) = F(x-)$ $x \in \mathbb{R}^1$

P (X = x) = P (X \leq x) - P (X < x) = F (x) - F (x -) = 0.

$P(X = x) = P(X \leq x) - P(X < x) = F(x) - F(x-) = 0.$

— Чжансіонг
джерело

Якщо розподіл rv

є Кантором, то його функція розподілу є безперервною, але

- сингулярна випадкова величина; це не суцільна випадкова величина.

X

$X$

X

$X$

— Дзен

Друже мій, це насправді може бути контрприкладом до твоєї власної відповіді, а не моєї. Оскільки існують такі сингулярні безперервні rv, необхідно розрізняти абсолютний безперервний rv та сингулярний безперервний rv, хоча всі їх функції розподілу всі безперервні. Зрівняти безперервний rv і абсолютний безперервний rv неоднозначно.

— Zhanxiong

Це не так, але ти не почуєш, мій друже.

— Дзен

До речі, ви насправді "доказуєте", що якщо

для кожного

, то

для кожного

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

— Дзен