Якщо є незалежною бета-версією, програма show також є бета-версією

Ось проблема, яка з’явилася на семестровому іспиті в нашому університеті кілька років тому, яку я намагаюся вирішити.

Якщо є незалежними випадковими змінними з щільністю та відповідно, то показують, що слідує . $X_1,X_2$ $\beta$ $\beta(n_1,n_2)$ $\beta(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)$ $\sqrt{X_1X_2}$ $\beta(2n_1,2n_2)$

Я використав метод щоб отримати щільність така: $Y=\sqrt{X_1X_2}$

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y}^{1} \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{y^{2}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_y^1\dfrac{1}{x^2}(1-x^2)^{n_2-1}(1-\dfrac{y^2}{x^2})^{n_2-1}dx$

Насправді я загублений. Тепер у головному документі я знайшов підказку. Я намагався використати підказку, але не зміг отримати бажані вирази. Підказка дослівна:

Підказка: Виведіть формулу для щільності з точки зору заданих густин та і спробуйте використати зміну змінної з . $Y=\sqrt{X_1X_2}$ $X_1$ $X_2$ $z=\dfrac{y^2}{x}$

Тож у цей момент я намагаюся використати цей підказку, розглядаючи цю зміну змінної. Отже я отримую, який після спрощення виявляється написання для )

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{z^{2}}{y^{4}} (1 - \frac{y^{4}}{z^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - y^{2} . \frac{z^{2}}{y^{4}})^{n_{2} - 1} \frac{y^{2}}{z^{2}} d z

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{z^2}{y^4}(1-\dfrac{y^4}{z^2})^{n_2-1}(1-y^2.\dfrac{z^2}{y^4})^{n_2-1}\dfrac{y^2}{z^2}dz$

x

$x$

z

$z$

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{1}{y^{2}} (1 - \frac{y^{4}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{x^{2}}{y^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{1}{y^2}(1-\dfrac{y^4}{x^2})^{n_2-1}(1-\dfrac{x^2}{y^2})^{n_2-1}dx$

Я не дуже знаю, як діяти. Я навіть не впевнений, що я правильно трактую натяк. У будь-якому випадку, тут іде інша підказка:

Зауважте, що, використовуючи зміну змінної , необхідну щільність можна виразити двома способами, отримуючи шляхом усереднення Тепер розділіть діапазон інтеграції на і і запишіть і продовжуємо з . $z=\dfrac{y^2}{x}$
$f_{Y} (y) = c o n s t a n t . y^{2 n_{1} - 1} \int_{y^{2}}^{1} (1 - \frac{y^{2}}{x})^{n_{2} - 1} (1 - x)^{n_{2} - 1} (1 + \frac{y}{x}) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ $f_Y(y)=constant.y^{2n_1-1}\int_{y^2}^1(1-\dfrac{y^2}{x})^{n_2-1}(1-x)^{n_2-1}(1+\dfrac{y}{x})\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$ $(y^2,y)$ $(y,1)$ $(1-\dfrac{y^2}{x})(1-x)=(1-y)^2-(\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^2$ $u=\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$

Ну, чесно кажучи, я не можу зрозуміти, як можна використовувати ці підказки: здається, я нікуди не потрапляю. Допомога цінується. Заздалегідь спасибі.

— Лендон Картер
джерело

Я бачив подібну проблему, перед якою я склав кілька посилань на. Див arxiv.org/pdf/1304.6671v1.pdf mathoverflow.net/questions/32782 / ...

— Sid

@Sid Вибачте, але я не зміг знайти цю проблему в цих посиланнях чи щось подібне. Не могли б ви вказати місця? Дякую!!

— Ландон Картер

Ви впевнені, що правильно застосували метод якобіана? Якщо я це роблю, я отримую: Я думаю, вам також знадобиться подвоєння формула , див. en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

f_{Y} (y) = \frac{2 y^{2 n_{1} - 1}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + 0.5, n_{2})} \int_{y^{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} [(1 - \frac{y^{2}}{x}) (1 - x)]^{n_{1} - 1} d x

$f_Y(y) = \frac{2 y^{2n_1-1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+0.5,n_2)} \int_{y^2}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} [(1-\frac{y^2}{x})(1-x)]^{n_1-1} dx$

Γ (z) Γ (z + 0.5) = 2^{1 - 2 z} \sqrt{π} Γ (2 z)

$\Gamma(z)\Gamma(z+0.5)=2^{1-2z}\sqrt{\pi}\Gamma(2z)$

— StijnDeVuyst

Мабуть, здається, що формули однакові. Можливо, вам доведеться використовувати зміну змінної у вашій формулі, щоб отримати шахту. Я говорю про якобійців.

z = \sqrt{x}

$z=\sqrt{x}$

— Ландон Картер

Я не думаю, що вони однакові. Здійснюючи зміну змінної, яку ви згадуєте у моїй формулі, я отримую щось трохи простіше, ніж те, що ви маєте в першому інтегралі вашого ОП.

— StijnDeVuyst

Я б довів це по-іншому, використовуючи функції, що генерують момент. Або рівнозначно, показуючи, що й момент дорівнює му моменту випадкової величини з розподілом . Якщо це так для всіх , то силою проблеми моменту вправа доведена. $q$ $\sqrt{X_1X_2}$ $q$ $B$ $\beta(2n_1,2n_2)$ $q=1,2,\ldots$

Останню частину ми отримуємо з http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution#Other_moments, що -ми моментом є Тепер для першої частини: $q$ $B$

E [B^{q}] = \prod_{j = 0}^{q - 1} \frac{2 n_{1} + j}{2 n_{1} + 2 n_{2} + j} = \dots = \frac{Γ (2 n_{1} + q) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2})}{Γ (2 n_{1}) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2} + q)}

$\mathrm{E}[B^q] = \prod_{j=0}^{q-1} \frac{2n_1+j}{2n_1+2n_2+j} = \ldots = \frac{\Gamma(2n_1+q)\Gamma(2n_1+2n_2)}{\Gamma(2n_1)\Gamma(2n_1+2n_2+q)}$

E [(\sqrt{X_{1} X_{2}})^{q}] = \int \int (\sqrt{x_{1} x_{2}})^{q} f_{X_{1}} (x_{1}) f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{1} d x_{2} = \int x^{q / 2} f_{X_{1}} (x_{1}) d x_{1} \cdot \int x_{2}^{q / 2} f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{2} = \frac{1}{B (n_{1}, n_{2})} \int x_{1}^{n_{1} + q / 2 - 1} (1 - x_{1})^{n_{2} - 1} d x_{1} \cdot \frac{1}{B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int x_{2}^{n_{1} + \frac{q + 1}{2} - 1} (1 - x_{2})^{n_{2} - 1} d x_{2} = \frac{B (n_{1} + \frac{q}{2}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{q + 1}{2}, n_{2})}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})}

$\mathrm{E}[(\sqrt{X_1X_2})^q] = \int\int (\sqrt{x_1x_2})^q f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) dx_1dx_2 \\ = \int x^{q/2} f_{X_1}(x_1) d x_1 \cdot \int x_2^{q/2} f_{X_2}(x_2) d x_2\\ = \frac{1}{B(n_1,n_2)} \int x_1^{n_1+q/2-1}(1-x_1)^{n_2-1}dx_1 \cdot \frac{1}{B(n_1+\frac{1}{2},n_2)} \int x_2^{n_1+\frac{q+1}{2}-1}(1-x_2)^{n_2-1}dx_2\\ = \frac{B(n_1+\frac{q}{2},n_2)B(n_1+\frac{q+1}{2},n_2)}{B(n_1,n_2)B(n_1+\frac{1}{2},n_2)}$ Тепер залишилося лише застосувати визначення а потім формулу подвоєння . Потім виявляється, що перша частина і друга частина абсолютно однакові.

B (α, β) = \frac{Γ (α) Γ (β)}{Γ (α + β)}

$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

Γ (α) Γ (α + \frac{1}{2}) = 2^{1 - 2 α} \sqrt{π} Γ (2 α)

$\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})=2^{1-2\alpha}\sqrt{\pi}\Gamma(2\alpha)$

— StijnDeVuyst
джерело

Я не думаю, що можна сказати, що рівність моментів передбачає рівність розподілу. Є приклади, коли це може не дотримуватися.

— Ландон Картер

StijnDeVuyst, вибачте, це не прийнятна відповідь. У мене є приклад, коли моменти рівні, але розподіли не однакові. Приклад дещо складний. На жаль, у мене зараз немає прикладу; він також склав іспит на один семестр. Але незабаром я викладу приклад у цій темі, якщо вас цікавить. У будь-якому разі я вирішував проблему сам. Спасибі за вашу допомогу.

— Ландон Картер

@yedaynara і Стейн: А (? The) класичний приклад обумовлений Хейден: Розглянемо ПРВ , де є ПДФ стандартна логічна норма і . Усі члени цієї групи розподілу мають однакові моменти (з усіх замовлень). Зауважте, що стандартний лонормальний є членом цієї родини і його моменти мають приємну закриту форму.

f_{b} (x) = f_{0} (x) (1 + b \sin (2 π \log x))

$f_b(x) = f_0(x)(1+b \sin(2\pi\log x))$

f_{0}

$f_0$

b \in [- 1, 1]

$b \in [-1,1]$

— кардинал

Однак існують додаткові умови (наприклад, Карлемана) щодо моментів, які гарантують унікальність розподілу. Це відома як проблема моменту Гамбургера .

— кардинал

Цитата з web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/book/papers / ... «... Це елементарна лінійна алгебра , щоб переконатися , що позитивний захід з кінцевим носієм однозначно визначається своїми моментами ...» Те , що осідає Умова Карлемана щодо М-детермінації для бета-розподілів в ОП. @cardinal і yedaynara обидва вірні, що я занадто швидко припустив це. Але, мабуть, кінцева підтримка - це те, що економить день.

— StijnDeVuyst