Як я можу обчислити у закритому вигляді?

Як можна оцінити очікування нормального CDF у квадраті у закритому вигляді?

E [Φ {(a Z + b)}^{2}] = \int_{- \infty}^{\infty} Φ {(a z + b)}^{2} ϕ (z) d z

$\mathbb{E}\left[\Phi\left(aZ+b\right)^{2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\Phi\left(az+b\right)^{2}\phi(z)\,dz$

Тут , - дійсні числа, , а і - функції щільності і розподілу стандартної нормальної випадкової величини, відповідно. $a$ $b$ $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ $\phi(\cdot)$ $\Phi(\cdot)$

mathematical-statistics

— Андрій
джерело

Ну де ти застряєш? Ви намагалися це оцінити? Можливо, використовуйте той факт, що

Var (g (X)) = E [g (X)^{2}] - (E [g (X)])^{2}

$\text{Var}(g(X))=E[g(X)^2]-(E[g(X)])^2$

— зберігається

Я намагався оцінити інтеграл, використовуючи інтеграцію за частинами та іншими (простими) методами, але це нікуди не привело мене. Крім того, я фактично почав з дисперсії, щоб потрапити сюди. Я знайшов подібне запитання ( stats.stackexchange.com/questions/61080/… ), але розповсюдження CDF у квадраті не здається тривіальним.

— Андрій

Чи думали ви використовувати полярні координати?

— СтатистикаСтудент

Ні, я ні, не можете детально розказати?

— Андрій

Якщо і , то рівномірно розподілено між 0 і 1. Другий момент його становить . Я пригадую, намагався обчислити щось на кшталт того, що ви запитуєте для загальних і , але я не знайшов рішення закритої форми.

b = 0

$b=0$

a = 1

$a=1$

Φ (Z)

$\Phi(Z)$

1 / 3

$1/3$

a

$a$

b

$b$

— StijnDeVuyst

Як було зазначено в моєму коментарі вище, перевірте у Вікіпедії список інтегралів функцій Гаусса. Використовуючи ваше позначення, воно дає де - функція T Оуена, визначена

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (a z + b)^{2} ϕ (z) d z = Φ (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}) - 2 T (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 + 2 a^{2}}}),

$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi (az+b)^2 \phi(z) dz=\Phi \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}} }\right) - 2T \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}}} \ , {{1} \over {\sqrt{1+2a^2}}} \right) ,$

T (h, q)

$T(h,q)$

T (h, q) = ϕ (h) \int_{0}^{q} \frac{ϕ (h x)}{1 + x^{2}} d x

$T(h,q)=\phi(h) \int_0^q {{\phi(hx) } \over {1+x^2}} dx$

Якщо ви підключите ви отримаєте оскільки коментарі вказують, що слід. $a=1,b=0$ $1 \over 3$

— соклей
джерело

Дякую тобі, саме це я шукав.

— Андрій