Питання, що стосується леми Бореля-Кантеллі

Примітка:

Лорма Борель-Кантеллі говорить про це

$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 0$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=0$
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty and A_{n}'s are independent \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 1$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) =\infty \textrm{ and } A_n\textrm{'s are independent} \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=1$

Потім,

якщо

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n} A_{n + 1}^{c}) < \infty

$\sum_{n=1}^\infty P(A_nA_{n+1}^c )\lt \infty$

за допомогою леми Бореля-Кантеллі

Я хочу це показати

по-перше,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n)$ існує

по-друге,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n) =P(\lim\sup A_n)$

Будь ласка, допоможіть мені показати ці дві частини. Дякую.

— B11b
джерело

Ні, лемма Бореля-Кантеллі не говорить (усі), що, принаймні, не обійшлося без подальших припущень.

— кардинал

@cardinal добре, як я можу показати ці два твердження? будь ласка, чи можете ви мені це пояснити? у мене немає достатньої ідеї. Я буду радий, якщо ти покажеш солютинний спосіб :) дякую

— B11b

Додано одне "подальше припущення".

— Дзен

Незначна примітка: як згадується тут , наприклад, ми можемо

A_{n}

$A_n$

— обійтись лише з подвійною

Жодне із тверджень не відповідає дійсності.

Нехай - шанс головок у монетному перевороті, з ймовірністю коли непарне, а коли парне. Потім: $A_n$ $1/n^2$ $n$ $1-\frac{1}{n^2}$ $n$

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}, A_{n + 1}^{c}) = \sum_{o d d n}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) + \sum_{e v e n n} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \infty .

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n,A_{n+1}^c)=\sum_{odd \ n}^\infty \frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+\sum_{even \ n}\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty.$

Однак явно не існує. Найкраще, що ви можете зробити висновок - . $\lim_nP(A_n)$ $\lim_n P(A_n,A_{n+1}^c)\rightarrow 0$

— Алекс Р.
джерело