Доведіть або наведіть контрприклад:

Якщо , то $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$

Моя спроба :

ФАЛЬС: Припустимо, може приймати лише негативні значення, і припустимо, $X$ $X_n \equiv X$ $\forall$ $n$

ТОГО , однак для навіть , не є суворо негативним. Натомість вона чергує негативну з позитивною та негативною. Отже, не сходиться майже напевно до . $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ $n$ $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $X$

Це розумна відповідь ?? Якщо ні, то як я можу покращити свою відповідь?

self-study convergence geometric-mean

— Lewkrr
джерело

X_{i}

$X_i$ має бути суворо позитивним, щоб це було значимим.

— user765195

Звичайно, вам потрібно , щоб правильно визначити . Спочатку доведіть, що переходить до як (google "Cesaro mean" в реальному аналізі та адаптуйте аргумент). Потім розглянемо .

X_{i} > 0

$X_i>0$

G_{n} = (\prod_{i = 1}^{n} X_{i})^{1 / n}

$G_n=(\prod_{i=1}^n X_i)^{1/n}$

A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n} / n

$A_n=\sum_{i=1}^n X_n/n$

X

$X$

L_{n} = \log G_{n}

$L_n=\log G_n$

— Дзен

Необхідності Реальний аналіз результат полягає в наступному: якщо , то . Доведення: для будь-якого існує такий, що , для кожного . Тому . Отже, якщо ми виберемо , тоді , для кожного .

x_{n} \to L

$x_n\to L$

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n \to L

$\sum_{i=1}^n x_i/n\to L$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

n_{0} \geq 1

$n_0\geq 1$

| x_{n} - L | < ϵ / 2

$|x_n-L|<\epsilon/2$

n \geq n_{0}

$n\geq n_0$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | \leq \sum_{i = 1}^{n_{0}} | x_{i} - L | / n + \sum_{i = n_{0} + 1}^{n} | x_{i} - L | / n < n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / n + ϵ / 2

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|\leq \sum_{i=1}^{n_0}|x_i-L|/n+\sum_{i=n_0+1}^{n}|x_i-L|/n<n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/n + \epsilon/2$

n_{1} > 2 n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / ϵ

$n_1>2\,n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/\epsilon$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | < ϵ

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|<\epsilon$

n \geq n_{1}

$n\geq n_1$

— Дзен

Інтуїція полягає в тому, що ви обчислюєте середнє значення з більшою кількістю , які ближче і ближче до , і вони в кінцевому підсумку домінують в результаті.

x_{i}

$x_i$

L

$L$

— Дзен

Відповіді:

Перш ніж доводити щось цікаве, зауважте, що майже напевно для всіх не є необхідною умовою, щоб обидва твердження мали сенс, що ілюструє детермінована послідовність . $X_i >0$ $i$ $(-1, -1, 1, 1, 1, \dots)$

Більше того, твердження взагалі є помилковим, як свідчить така детермінована послідовність: . $(0, 1, 1, \dots)$

Тепер, припустимо, майже точно для всіх , тоді твердження вірно наступним аргументом: $X_i >0$ $i$

ВизначтеЗа контурінням , майже напевно. Таким чином, майже напевно за результатом для Cesaro означає, що також доведено в коментарях вище. Таким чином, за безперервністю , майже напевно.

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \log (X_{i}) .

$S_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log(X_i).$

x \mapsto \log (x)

$x\mapsto \log(x)$

\log (X_{n}) \to \log (X)

$\log(X_n)\to\log(X)$

S_{n} \to \log (X)

$S_n \to\log(X)$

x \mapsto \exp (x)

$x\mapsto \exp(x)$

{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n} \to X,

$\left(\prod_{i=1}^nX_i\right)^{1/n}\to X,$

— еквалл
джерело

Ця претензія помилкова. Я даю доказ, надаючи контрприклад.

Припустимо, випадкова послідовність визначається наступним чином: $X_i$

\begin{aligned} Z_{i} & \sim N (0, 1 / i), i i d, \forall i \in N \\ X_{i} & = 1_{{i \neq 1}} + 1_{{i \neq 1}} Z_{i}, i \in N \end{aligned}

$\begin{align} Z_i &\sim N(0,1/i), iid, \; \forall i \in \mathbb{N} \\ X_i &= 1_{\{i \neq 1\}} + 1_{\{i \neq 1\}}Z_i, \; i \in \mathbb{N} \end{align}$

Зрозуміло, що є (1) виродженим і (2) майже впевнено сходиться до оскільки за сильним законом Чебишева великої кількості. (Щоб побачити це, перепишіть для .) $X_i$ $X=1$ $i \longrightarrow \infty$ $Z_i = i^{-0.5}Z$ $Z \sim N(0,1)$

Однак, оскільки , . Отже, , тож він у межі тривіально сходиться до , тобто . $X_1 = 0$ $\Pi_{i=1}^nX_i = 0, \; \forall n \in \mathbb{N}$ $(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0, \forall n \in \mathbb{N}$ $0$ $lim_{n\longrightarrow \infty}(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0$ $\square$

— Єремія К
джерело

Здається, ви забули показник.

1 / n

$1/n$

— whuber

Дякую Уаубер, я це виправив :) Мені слід реально попрацювати над ретельнішими речами ... Я також спочатку довів, що твердження також не стосується тому що я не читав належним чином.

Π_{i = 1}^{n} X_{i}^{1 / i}

$\Pi_{i=1}^nX_i^{1/i}$

— Jeremias K

Дякую. Всі ці обчислення, здається, затьмарюють просту ідею: якщо ненульовий, ви не зміните межу, змінивши будь-яке кінцеве число на нуль, але це зробить продукт нульовим, і ви отримаєте протиріччя. Справедливо. Однак, якщо нам не сказано інше, твердження про нескінченні продукти слід розуміти як твердження про нескінченні суми логарифмів. Зокрема, інтерес до цього питання зосереджується на тому випадку, коли кожен майже напевно суворо позитивний .

X

$X$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

— whuber

@whuber, останній коментар цікавий. Чи дійсно так, що ліміти продуктів розуміються за умовами або, можливо, за визначенням (?), Розуміються в логарифмах? Якщо так, то я б змінила формулювання своєї відповіді вище. Зокрема, останнє заклик до наступності було б зайвим.

— еквалл

@Student Міркування у вашій відповіді чудово. У статистичних додатках рідко хтось дивиться на таку межу геометричних засобів, якщо б вони вже не думали з точки зору логарифмів.

— whuber