Квантили від комбінації нормальних розподілів

У мене є інформація про розподіл антропометричних розмірів (як плечовий проміжок) для дітей різного віку. Для кожного віку та розміру я маю середнє стандартне відхилення. (У мене також є вісім квантилів, але я не думаю, що я зможу отримати від них те, що хочу.)

Для кожного виміру я хотів би оцінити окремі кванти розподілу довжини. Якщо я припускаю, що кожен з розмірів зазвичай розподілений, я можу це зробити за допомогою засобів та стандартних відхилень. Чи є якась формула, яку я можу використати, щоб отримати значення, пов'язане з певним квантилем розподілу?

Зворотний процес досить простий: для конкретного значення отримайте площу праворуч від значення для кожного з нормальних розподілів (віків). Підсумуйте результати та розділіть на кількість розподілів.

Оновлення : Ось те саме питання у графічній формі. Припустимо, що кожен з кольорових розподілів зазвичай розподілений.

Крім того, я, очевидно, можу просто спробувати купу різної довжини і продовжувати їх змінювати, поки я не отримаю той, який досить близький до потрібного квантилу для моєї точності. Мені цікаво, чи є кращий спосіб, ніж цей. І якщо це правильний підхід, чи існує його назва?

На жаль, стандартна нормальна (з якої можна визначити всі інші, оскільки норма є сім’єю масштабної локації) квантильна функція не допускає закритої форми (тобто «досить формули»). Найближчим до закритої форми є те, що стандартною нормальною квантильною функцією є функція, , яка задовольняє диференціальне рівняння$w$

$$\frac{d^2 w}{d p^2} = w \left(\frac{d w}{d p}\right)^2$$

і початкові умови і . У більшості обчислювальних середовищ є функція, яка чисельно обчислює нормальну квантильну функцію. В R ви введете$w(1/2) = 0$$w'(1/2) = \sqrt{2 \pi}$

qnorm(p, mean=mu, sd=sigma)

щоб отримати '-й квантил розподілу .$p$$N(\mu, \sigma^2)$

---

Редагувати: З модифікованим розумінням проблеми, дані формуються із суміші нормалей, так що щільність спостережуваних даних становить:

$$p(x) = \sum_{i} w_{i} p_{i}(x)$$

де а кожен - деяка нормальна щільність із середнім та стандартним відхиленням . Звідси випливає, що CDF спостережуваних даних є$\sum_{i} w_{i} = 1$$p_{i}(x)$$\mu_{i}$$\sigma_{i}$

$$F(y) = \int_{-\infty}^{y} \sum_{i} w_{i} p_{i}(x) dx = \sum_{i} w_{i} \int_{-\infty}^{y} p_{i}(x) = \sum_{i} w_{i} F_{i}(y)$$

де - нормальний CDF із середнім і стандартним відхиленням . Інтеграція та підсумовування можуть бути змінені, оскільки ці інтеграли є кінцевими. Цей CDF є безперервним і досить простим для обчислення на комп'ютері, тому обернений CDF, , також відомий як квантильна функція, може бути обчислений шляхом пошуку рядків. Я замовчую цей варіант, оскільки не приходить до уваги жодна проста формула для кількісної функції суміші нормалей, як функція квантилів складових розподілів.μ i σ i F - $F_{i}(x)$$\mu_{i}$$\sigma_{i}$$F^{-1}$

Наведений нижче код R чисельно обчислює використовуючи бісекцію для пошуку рядка. Функція F_inv () - квантильна функція, вам потрібно поставити вектор, що містить кожен і квантил, для якого слід вирішити, . w i , μ i , σ i$F^{-1}$$w_{i}, \mu_{i}, \sigma_{i}$$p$

# evaluate the function at the point x, where the components 
# of the mixture have weights w, means stored in u, and std deviations
# stored in s - all must have the same length.
F = function(x,w,u,s) sum( w*pnorm(x,mean=u,sd=s) )

# provide an initial bracket for the quantile. default is c(-1000,1000). 
F_inv = function(p,w,u,s,br=c(-1000,1000))
{
   G = function(x) F(x,w,u,s) - p
   return( uniroot(G,br)$root ) 
}

#test 
# data is 50% N(0,1), 25% N(2,1), 20% N(5,1), 5% N(10,1)
X = c(rnorm(5000), rnorm(2500,mean=2,sd=1),rnorm(2000,mean=5,sd=1),rnorm(500,mean=10,sd=1))
quantile(X,.95)
    95% 
7.69205 
F_inv(.95,c(.5,.25,.2,.05),c(0,2,5,10),c(1,1,1,1))
[1] 7.745526

# data is 20% N(-5,1), 45% N(5,1), 30% N(10,1), 5% N(15,1)
X = c(rnorm(5000,mean=-5,sd=1), rnorm(2500,mean=5,sd=1),
      rnorm(2000,mean=10,sd=1), rnorm(500, mean=15,sd=1))
quantile(X,.95)
     95% 
12.69563 
F_inv(.95,c(.2,.45,.3,.05),c(-5,5,10,15),c(1,1,1,1))
[1] 12.81730