Тестування гіпотези Пуассона за двома параметрами

Тож для задоволення я беру деякі дані дзвінків з кол-центру, в якому я працюю, і намагаюся зробити тестування гіпотез щодо них, зокрема кількість отриманих дзвінків за тиждень, і використовую розподіл Пуассона, щоб підходити до нього. Зважаючи на тему моєї роботи, є два типи тижнів, давайте назвемо один з них на тижні, де я припускаю, що більше дзвінків, а поза тижнів, коли я гіпотезую, є менше.

У мене є теорія, згідно з якою з тижнів (назвемо це ) більша, ніж у тижня з поза тижнів (назвемо це )$\lambda$$\lambda_1$$\lambda_2$

Отже, я хочу перевірити гіпотезу$H_0: \lambda_1 > \lambda_2, H_1: \lambda_1 \leq \lambda_2$

Я знаю, як перевірити один параметр (скажімо $H_0: \lambda_1 > 1, H_1: \lambda_1 \leq 1$), але не настільки впевнений, як рухатись за допомогою 2 даних. Скажімо, я беру дані на два тижні з кожного$X_1 = 2$ і $X_2 = 3$ за недільний і $Y_1 = 2$ і $Y_2=6$на тиждень. Хтось може допомогти мені ходити через цю більш просту версію, щоб я міг застосувати її до більшого набору даних? Будь-яка допомога вдячна, дякую.

Зауважимо, що рівність зазвичай є нульовою (з поважною причиною).

Що стосується цього питання, я згадаю кілька підходів до тестування подібної гіпотези

1. Дуже простий тест: умова на загальну кількість спостережуваних $n$, що перетворює його на біноміальну пробу пропорцій. Уявіть, що є$w_\text{on}$ на-тижні і $w_\text{off}$ поза тижнів і $w$ тижні разом.

Тоді під нулем очікувані пропорції $\frac{w_\text{on}}{w}$ і $\frac{w_\text{off}}{w}$відповідно. Ви можете зробити односхилий тест на пропорцію протягом тижнів досить легко.

2. Ви можете побудувати односхилий тест, адаптувавши статистику, пов’язану з тестом коефіцієнта ймовірності; z-форму Wald-тесту або тестування балів можна зробити, наприклад, хвостиком, і він повинен добре працювати з мовою$\lambda$.

Є й інші заходи.

Що про щойно використаний GLM зі структурою помилок Пуассона та log-link ??? Але думка про двочлен може бути більш потужною.

Я б вирішив це за допомогою пуассона або квазі-пуассона GLM з перевагою квазі-пуассона або негативного двочлена.

Проблема використання традиційного Пуассона полягає в тому, що він вимагає відхилення і середнього значення бути рівним, що, швидше за все, не так. Квазі-Пуассон або NB оцінює дисперсію, необмежену середнім значенням.

Ви можете зробити що-небудь з цього в R дуже легко.

# week on = 1, week off = 0
week.status <- c(1, 1, 0, 0)
calls <- c(2, 6, 2, 3)
model <- glm(calls ~ week.status, family = poisson())
# or change the poisson() after family to quasipoisson() 
# or use the neg binomial glm from the MASS package

Підхід GLM є вигідним, оскільки ви можете розширити, включаючи додаткові змінні (наприклад, місяць року), які можуть вплинути на обсяг виклику.

Щоб зробити це вручну, я, мабуть, скористався нормальним наближенням і двома зразками t тесту.

Ми починаємо з максимальної оцінки ймовірності для параметра Пуассона, що є середнім.

Тому, $\hat\lambda_1=\bar Y~~and~~\hat\lambda_2=\bar X$

Тепер ви можете просто протестувати $\bar Y-\bar X\sim N(\lambda_1-\lambda_2,\frac{\lambda_1}{n_1}+\frac{\lambda_2}{n_2})$

а потім порівняйте, отримавши Z-значення =$\frac{(\bar Y-\bar X)-\lambda_1-\lambda_2}{\sqrt{\frac{\lambda_1}{n_1}+\frac{\lambda_2}{n_2}}}$

Примітка: -Критерії відхилення є $Z<Critical~Value$

Починаючи зі сторінки 125 Тестичної статистичної гіпотези Казелли, викладено відповідь на тип запитання, який ви сформулювали. Я додав посилання на pdf, я знайшов його в Інтернеті для ознайомлення. Тестова статистична гіпотеза Казелли, Третє видання .