Розуміння дробово-диференціальної формули

У мене є часовий ряд і я хотів би моделювати його як процес ARFIMA (він же FARIMA). Якщо інтегрований у (дробовий) порядок , я хотів би дробово відрізнити його, щоб зробити його нерухомим.$y_t$$y_t$$d$

Запитання : чи правильна наступна формула, що визначає дробову диференціацію?

$\Delta^d y_t := y_t - d y_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} y_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} y_{t-3} + ... +(-1)^{k+1} \frac{d(d-1) \cdot ... \cdot (d-k)}{k!} y_{t-k} + ...$

(Тут позначає дробову диференціацію порядку .)$\Delta^d$$d$

Я формулюю формулу цієї статті у Вікіпедії на ARFIMA , глава ARFIMA ( ), але я не впевнений, чи правильно я її зрозумів.$0,d,0$

Так, здається, це правильно. Дробовий фільтр визначається біноміальним розширенням:

$\Delta^{d}=\left(1-L\right)^{d}=1-dL+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}+\cdots$

Зауважте, що - оператор відставання, і цей фільтр не можна спростити, коли . Тепер розглянемо процес:$L$$0<d<1$

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=\varepsilon_{t}$

Розширюючись, отримуємо:

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=X_{t}-dLX_{t}+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}X_{t}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}X_{t}+\cdots=\varepsilon_{t}$

який можна записати так:

$X_{t}=dX_{t-1}-\frac{d\left(d-1\right)}{2!}X_{t-2}+\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}X_{t-3}-\cdots+\varepsilon_{t}$

Див. Динаміку цін на активи, волатильність та прогнозування Стівена Дж. Тейлора (стор. 243 у виданні 2007 р.) Або часовий ряд: Теорія та методики Броквелла та Девіса для подальшого ознайомлення.