Виміри подібності або відстані між двома матрицями коваріації

28

Чи є заходи подібності чи відстані між двома симетричними матрицями коваріації (обидві мають однакові розміри)?

Я маю на увазі аналоги KL-розбіжності двох розподілів ймовірностей або евклідової відстані між векторами, за винятком матриць. Я думаю, було б досить багато вимірювань подібності.

В ідеалі я також хотів би перевірити нульову гіпотезу про те, що дві матриці коваріації однакові.

— Рам Ахлувалія
джерело

3

відповіді на це питання: Quant.stackexchange.com/q/121/108 може бути корисним.

— shabbychef

2

відмінне запитання та відповідь за посиланням - спасибі - так, саме тут я їхав :)

— Рам Ахлувалія

2

Пов'язане запитання: Діагностичний графік для оцінки однорідності дисперсійно-коваріаційних матриць . Довідковий документ: Проста процедура порівняння матриць коваріації .

— амеба каже, що поверніть Моніку

21

Ви можете використовувати будь-яку норму (див. Вікіпедію про різні норми; зауважте, що квадратний корінь суми квадратних відстаней , називається нормою Фробеніуса і відрізняється від норми , яка є квадратним коренем найбільшого власного значення , хоча, звичайно, вони породжували б ту саму топологію). Відстань KL між двома нормальними розподілами з однаковими засобами (скажімо нуль) та двома конкретними матрицями коваріації також доступна у Вікіпедії як . $\| A-B \|_p$ $\sqrt{\sum_{i,j} (a_{ij}-b_{ij})^2}$ $L_2$ $(A-B)^2$ $\frac12 [ \mbox{tr} (A^{-1}B) - \mbox{ln}( |B|/|A| ) ]$

Редагувати: якщо одна з матриць є матрицею, що має на увазі модель, а інша - матриця зразкової коваріації, то, звичайно, ви можете сформувати тест на коефіцієнт ймовірності між ними. Моя особиста улюблена колекція таких тестів для простих структур наведена у методах багатовимірного аналізу Rencher (2002) . Більш прогресивні випадки висвітлюються в коваріаційному моделюванні структури, на якій розумною відправною точкою є структурні рівняння Боллена (1989) з латентними змінними .

— СтасК
джерело

у мене проблема з : вона не дає однакового значення, якщо перестановити і (реальна відстань має бути симетричною).

1 / 2 (tr (A^{- 1} B) - \log (| B | / | A |))

$1/2(\verb+tr+(A^{-1}B)-\log(|B|/|A|))$

A

$A$

B

$B$

— user603

У мене проблема з : це не афінний еквівалент (якщо ви обертаєте матриці, там змінюються відстані!). Крім того, вам слід якось масштабувати свої матриці (вони можуть бути виміряні в дуже різних одиницях), також, цілком природно вимагати, щоб відстань між двома матрицями коваріації було таким же, як відстань між відповідними кореляційними матрицями: тому я пропоную .

(A - B)^{2}

$(A-B)^2$

(A det (A)^{- 1 / p} - B det (B)^{- 1 / p})^{2}

$(A\det(A)^{-1/p}-B\det(B)^{-1/p})^2$

— user603

2

По-перше, KL - це не реальна відстань, і це добре відомий факт. По-друге, якщо матриці вимірюються в різних одиницях, вони не можуть бути рівними.

— Стаск

Чи відстань KL схожа на коефіцієнт вірогідності, чи вони пов'язані?

— хешмук

7

Позначимо і ваші матриці обох розмірів . $\varSigma_1$ $\varSigma_2$ $p$

Номер конденсу: де ( ) найбільше (найменше) власне значення , де визначається як: $\log(\lambda_1)-\log(\lambda_p)$ $\lambda_1$ $\lambda_p$ $\varSigma^*$ $\varSigma^*$ $\varSigma^*:=\varSigma_1^{-1/2}\varSigma_2\varSigma_1^{-1/2}$

Правка: я відредагував другу з двох пропозицій. Я думаю, що я неправильно зрозумів питання. Пропозиція на основі номерів умов використовується в надійній статистиці для оцінки якості придатності. Старе джерело, яке я міг би знайти для нього, це:

Yohai, VJ та Maronna, RA (1990). Максимальний ухил міцних коваріацій. Комунікації в статистиці - теорія та методи, 19, 3925–2933.

Я спочатку включив міру коефіцієнта Дет:

Коефіцієнт : де . $\log(\det(\varSigma^{**})/\sqrt{\det(\varSigma_2)*\det(\varSigma_1)})$ $\varSigma^{**}=(\varSigma_1+\varSigma_2)/2$

яка була б відстань Бхаттачарія між двома розподілами Гаусса, що мають той самий вектор розташування. Я, мабуть, спочатку прочитав питання, що стосується обстановки, коли дві коваріації надходять із зразків з популяцій, які вважаються рівними.

— user603
джерело

7

Захід, введений Herdin (2005) Кореляційна матриця відстані, значущим заходом для оцінки нестаціонарних каналів MIMO, є де нормою є норма Фробеніуса.

d = 1 - \frac{tr (R_{1} \cdot R_{2})}{‖ R_{1} ‖ \cdot ‖ R_{2} ‖},

$d = 1 - \frac{\text{tr}(R_1 \cdot R_2)}{\|R_1\| \cdot \|R_2\|},$

— davidc
джерело

+1. Дуже дякую за цю відповідь, мені це дуже допомогло.

— амеба каже, що поверніть Моніку

1

Це одна мінус схожість косинуса, правда?

— Firebug

4

Відстань матриці коваріації використовується для відстеження об'єктів у програмі Computer Vision.

В даний час використаний показник описаний у статті: "Метрика для коваріаційних матриць" Ферстнера та Муона.

— Андрес Ромеро
джерело