Взаємозв'язок між сумою гауссових RV та гауссової суміші

Я знаю, що сума гауссів - це гаусси. Отже, чим відрізняється суміш гауссів?

Я маю на увазі, що суміш гауссів - це лише сума гауссів (де кожен гаусс множиться на відповідний коефіцієнт змішування) так?

Зважена сума гауссових випадкових величин - випадкова величина Гаусса : if то p ∑ i = 1 β i X i ( X 1 , … , X p ) ∼ N p ( μ , Σ ) β T ( X 1 , … , X p ) ∼ N 1 ( β T μ , β T Σ β $X_1,\ldots,X_p$

$$\sum_{i=1}^p \beta_i X_i$$ $$(X_1,\ldots,X_p)\sim\text{N}_p(\mu,\Sigma)$$ $$\beta^\text{T}(X_1,\ldots,X_p)\sim\text{N}_1(\beta^\text{T}\mu,\beta^\text{T}\Sigma\beta)$$

Суміш гауссових густин має щільність, задану у вигляді зваженої суми гауссових густин : яка майже незмінно не дорівнює гауссова щільності. Дивіться, наприклад, нижню оцінювану щільність суміші нижче (де жовта смуга є мірою змінності розрахункової суміші):

$$f(\cdot;\theta)=\sum_{i=1}^p \omega_i \varphi(\cdot;\mu_i,\sigma_i)$$

[Джерело: Марін та Роберт, Bayesian Core , 2007]

Випадкова величина з такою щільністю, може бути представлена в вигляді , де і є багаточленом з :X = p ∑ i = 1 I ( Z = i ) X i = X Z X i ∼ N p ( μ i , σ i ) Z P ( Z = i ) = ω i Z ∼ М ( 1 ; ω 1 , … , ω $X\sim f(\cdot;\theta)$

$$X=\sum_{i=1}^p \mathbb{I}(Z=i) X_i = X_{Z}$$ $X_i\sim\text{N}_p(\mu_i,\sigma_i)$$Z$$\mathbb{P}(Z=i)=\omega_i$ $$Z\sim\text{M}(1;\omega_1,\ldots,\omega_p)$$

Ось декілька код R, який слід доповнити @ Xi'an:

par(mfrow=c(2,1))
nsamples <- 100000

# Sum of two Gaussians
x1 <- rnorm(nsamples, mean=-10, sd=1)
x2 <- rnorm(nsamples, mean=10, sd=1)
hist(x1+x2, breaks=100)

# Mixture of two Gaussians
z <- runif(nsamples)<0.5 # assume mixture coefficients are (0.5,0.5)
x1_x2 <- rnorm(nsamples,mean=ifelse(z,-10,10),sd=1)
hist(x1_x2,breaks=100)

Розподіл суми незалежних випадкових величин - це згортка їх розподілу. Як ви вже зазначали, згортання двох гауссів відбувається як гауссова.

$X,Y$$Z$$X$$Y$$Z=X$$Z=Y$