Малювання n інтервалів рівномірно випадковим чином, ймовірність того, що принаймні один інтервал перекривається з усіма іншими

Випадково намалюйте $n$ інтервалів від $[0,1]$ , де кожна кінцева точка A, B вибирається з рівномірного розподілу між .$[0,1]$

Яка ймовірність того, що хоча б один інтервал перетинається з усіма іншими?

Ця публікація відповідає на питання і окреслює частковий прогрес у доведенні її правильності.

При n = 1 відповідь тривіально дорівнює 1 . Для всіх більших росіян це (на диво) завжди$n=1$$1$$n$ 2 / 3 .$2/3$

Щоб зрозуміти, чому, спочатку зауважте, що питання можна узагальнити до будь-якого безперервного розподілу F (замість рівномірного розподілу). Процес, за допомогою якого генеруються n інтервалів, становить витяг 2 n iid змінних X 1 , X 2 , ... , X 2 n з F та формування інтервалів$F$$n$$2n$$X_1, X_2, \ldots, X_{2n}$$F$

Тому що все 2 п від X я незалежний, вони змінні. Це означає, що рішення було б таким же, якби ми випадково переставляли їх усіх. Отже, давайте умовляємо статистику замовлень, отриману шляхом сортування X i :$2n$$X_i$$X_i$

(де, оскільки F безперервний, існує нульовий шанс, що будь-які два будуть рівними). У п інтервали формуються шляхом вибору випадкової перестановки сг ∈ š 2 н і поєднуючи їх в парах$F$$n$$\sigma\in\mathfrak{S}_{2n}$

Whether any two of these overlap or not does not depend on the values of the $X_{(i)}$, because overlapping is preserved by any any monotonic transformation $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ and there are such transformations that send $X_{(i)}$ to $i$. Thus, without any loss of generality, we may take $X_{(i)}=i$ and the question becomes:

Let the set $\{1,2,\ldots, 2n-1, 2n\}$ be partitioned into $n$ disjoint doubletons. Any two of them, $\{l_1,r_1\}$ and $\{l_2,r_2\}$ (with $l_i \lt r_i$), overlap when $r_1 \gt l_2$ and $r_2 \gt l_1$. Say that a partition is "good" when at least one of its elements overlaps all the others (and otherwise is "bad"). As a function of $n$, what is the proportion of good partitions?

To illustrate, consider the case $n=2$. There are three partitions,

of which the two good ones (the second and third) have been colored red. Thus the answer in the case $n=2$ is $2/3$.

We may graph such partitions $\{\{l_i,r_i\},\,i=1,2,\ldots,n\}$ by plotting the points $\{1,2,\ldots,2n\}$ on a number line and drawing line segments between each $l_i$ and $r_i$, offsetting them slightly to resolve visual overlaps. Here are plots of the preceding three partitions, in the same order with the same coloring:

From now on, in order to fit such plots easily in this format, I will turn them sideways. For instance, here are the $15$ partitions for $n=3$, once again with the good ones colored red:

Ten are good, so the answer for $n=3$ is $10/15=2/3$.

The first interesting situation occurs when $n=4$. Now, for the first time, it is possible for the union of the intervals to span $1$ through $2n$ without any single one of them intersecting the others. An example is $\{\{1,3\},\{2,5\},\{4,7\},\{6,8\}\}$. The union of the line segments runs unbroken from $1$ to $8$ but this is not a good partition. Nevertheless, $70$ of the $105$ partitions are good and the proportion remains $2/3$.

The number of partitions increases rapidly with $n$: it equals $1\cdot 3\cdot 5 \cdots \cdot 2n-1 = (2n)!/(2^nn!)$. Exhaustive enumeration of all possibilities through $n=7$ continues to yield $2/3$ as the answer. Monte-Carlo simulations through $n=100$ (using $10000$ iterations in each) show no significant deviations from $2/3$.

I am convinced there is a clever, simple way to demonstrate there is always a $2:1$ ratio of good to bad partitions, but I have not found one. A proof is available through careful integration (using the original uniform distribution of the $X_i$), but it is rather involved and unenlightening.