Як я можу оцінити ймовірність того, що випадковий член з однієї сукупності буде «кращим», ніж випадковий член з іншої сукупності?

Припустимо, у мене є вибірки з двох різних груп. Якщо я виміряю, скільки часу потрібно кожному члену, щоб виконати завдання, я можу легко оцінити середнє значення та дисперсію кожного населення.

Якщо я зараз припускаю гіпотезу про випадкове парування з однією людиною від кожної популяції, чи можу я оцінити ймовірність того, що перше швидше, ніж друге?

Я маю на увазі конкретний приклад: вимірювання - це моменти часу, коли я рухаюсь від А до В, а групи населення представляють різні маршрути, які я міг би пройти; Я намагаюся розібратися, якою є ймовірність того, що вибір маршруту А для мого наступного циклу буде швидшим, ніж вибір маршруту В. Коли я фактично виконую цикл, у мене з’являється ще одна точка даних для мого набору зразків :).

Я усвідомлюю, що це жахливо спрощений спосіб спробувати вирішити це, хоча б тому, що в будь-який день вітер швидше вплине на мій час, ніж будь-що інше, тому, будь ласка, повідомте мене, якщо ви думаєте, що я прошу неправильне запитання ...

Рішення

Нехай два засоби будуть і μ y, а їхні стандартні відхилення будуть$\mu_x$$\mu_y$ та σ y відповідно. Тому різниця в часових режимах між двома їздами ( Y - X ) має середнє μ y - μ x і стандартне відхилення$\sigma_x$$\sigma_y$$Y-X$$\mu_y - \mu_x$ . Стандартизована різниця ("z оцінка") є$\sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}$

Якщо ваш час їзди не має дивних розподілів, ймовірність того, що їзда займає більше часу, ніж їзда X , приблизно дорівнює нормальному кумулятивному розподілу evalu , оціненому в z .$Y$$X$$\Phi$$z$

Обчислення

Цю ймовірність ви можете відпрацювати на одному з ваших поїздок, тому що у вас вже є оцінки тощо :-). Для цієї мети можна легко запам'ятати кілька значень ключових з Ф : Ф ( 0 ) = 0,5 = 1 / 2 , Φ ( - 1 ) ≈ 0,16 ≈ 1 /$\mu_x$$\Phi$$\Phi(0) = .5 = 1/2$$\Phi(-1) \approx 0.16 \approx 1/6$ , , і Φ ( - 3 ) $\Phi(-2) \approx 0.022 \approx 1/40$ . (Наближення може бути поганим для | z | набагато більше, ніж 2 , але знання Φ ( - 3 ) допомагає при інтерполяції.) У поєднанні з Φ ( z ) = 1 - Φ ( - z ) і трохи інтерполяцією, ви можна швидко оцінити ймовірність однієї значущої цифри, що є більш ніж точним врахуванням характеру проблеми та даних.$\Phi(-3) \approx 0.0013 \approx 1/750$$|z|$$2$$\Phi(-3)$$\Phi(z) = 1 - \Phi(-z)$

Приклад

Припустимо, маршрут займає 30 хвилин зі стандартним відхиленням 6 хвилин, а маршрут Y займає 36 хвилин при стандартному відхиленні 8 хвилин. При достатній кількості даних, що охоплюють широкий діапазон умов, гістограми ваших даних можуть з часом наблизитись до таких:$X$$Y$

(Це функції щільності ймовірності для змінних Gamma (25, 30/25) та Gamma (20, 36/20). Зауважте, що вони чітко перекошені вправо, як можна було б очікувати на час їзди.)

Потім

Звідси

Ми маємо

Тому ми оцінюємо, що відповідь становить 0,6 від 0,5 до 0,84: 0,5 + 0,6 * (0,84 - 0,5) = приблизно 0,70. (Правильне, але надто точне значення для нормального розподілу становить 0,73.)

Там в 70% ймовірність , що маршрут займе більше часу , ніж маршрут X . Зробивши цей розрахунок у себе в голові, ви знімете з розуму наступний пагорб. :-)$Y$$X$

(Правильна ймовірність показаних гістограм становить 72%, хоча жодна з них не є нормальною: це ілюструє обсяг та корисність наближення норми для різниці у часі поїздки.)

Мій інстинктивний підхід може бути не найбільш статистично витонченим, але ви можете вважати, що це буде веселіше :)

Я отримав би лист паперу пристойного розміру і розділив стовпчики на часові блоки. Залежно від тривалості вашої їзди - ми говоримо про середній час 5 хвилин або години - ви можете використовувати блоки різного розміру. Скажімо, кожен стовпець - це блок на дві хвилини. Виберіть колір для маршруту A та інший колір для маршруту B, а після кожної їзди зробіть крапку у відповідному стовпчику. Якщо вже є крапка цього кольору, перемістіть один ряд вгору. Іншими словами, це була би гістограма в абсолютних числах.

Тоді ви б будували веселу гістограму з кожної їзди, і візуально бачите різницю між двома маршрутами.

Моє відчуття, засноване на моєму власному досвіді руху велосипедів (не підтверджене кількісною оцінкою) полягає в тому, що часи не будуть нормально розподілятися - вони матимуть позитивне перекос, або іншими словами довгий хвіст часів верхнього кінця. Мій типовий час не настільки довший, ніж мій найкоротший можливий час, але раз у раз я здається, що я потрапляю на всі червоні вогні, і там є набагато вищий верхній кінець. Ваш досвід може бути різним. Тому я думаю, що підхід гістограми може бути кращим, тому ви можете спостерігати за формою розподілу самостійно.

PS: Мені не вистачає респондентів для коментарів на цьому форумі, але я люблю відповідь Whuber! Він досить ефективно звертається до мого занепокоєння щодо косості з допомогою вибіркового аналізу. І мені подобається ідея обчислити у себе в голові, щоб відмовитися від наступного пагорба :)

Припустимо, два набори даних є $X$ і $Y$. Випадково вибирайте по одній людині з кожного населення, надаючи вам$x,y$. Запишіть "1", якщо$x > y$і 0 в іншому випадку. Повторіть це багато разів (скажімо, 10000), і середнє значення цих показників дасть вам оцінку$P(X_{i} > Y_{j})$ де $i,j$є випадково вибраними суб'єктами з двох груп відповідно. У R код буде мати щось на зразок:

#X, Y are the two data sets
ii = rep(0,10000)
for(k in 1:10000)
{
   x1 = sample(X,1)
   y1 = sample(Y,1)
   ii[k] = (x1>y1) 
}

# this is an estimate of P(X>Y)
mean(ii)