Чи має цей розподіл назву? Або що таке стохастичний процес, який може його породжувати?

Дискретний розподіл з масовою функцією

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)}, x = 1, 2, \dots

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)},\quad x = 1,2,\ldots$

виникає на сторінці 9 цього документу .

Для це розподіл Юля-Саймона з , але я не знайшов інших прикладів. $k=1$ $\rho=1$

Чи має це ім’я? Чи відображається вона в інших контекстах? Чи є простий стохастичний процес, який може його створити?

distributions

— Саймон Берн
джерело

Це дискретний закон про владу.

(Це опис - чиє значення буде уточнено нижче - а не технічний термін. Фраза "дискретний закон про владу" має дещо інше технічне значення, як зазначено @Cardinal у коментарях до цієї відповіді.)

Щоб побачити це, зауважте, що часткове розкладання дробу можна записати

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)} = \frac{1}{1 + (x - 1) / k} - \frac{1}{1 + x / k} .

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)} = \frac{1}{1 + (x-1)/k} - \frac{1}{1 + x/k}.$

Телескопи CDF у закритому вигляді:

\begin{aligned} CDF (i) = \sum_{x = 1}^{i} p (x; k) \\ = & [\frac{1}{1 + 0 / k} - \frac{1}{1 + 1 / k}] + [\frac{1}{1 + 1 / k} - \frac{1}{1 + 2 / k}] + \dots + [\frac{1}{1 + (i - 1) / k} - \frac{1}{1 + i / k}] \\ = & \frac{1}{1 + 0 / k} + [- \frac{1}{1 + 1 / k} + \frac{1}{1 + 1 / k}] + [- \frac{1}{1 + 2 / k} + \dots + \frac{1}{1 + (i - 1) / k}] - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & 1 + 0 + \dots + 0 - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & \frac{i}{i + k} . \end{aligned}

$\eqalign{ &\text{CDF}(i) = \sum_{x=1}^i p(x;k) \\ = &[\frac{1}{1 + 0/k} - \frac{1}{1 + 1/k}] + [\frac{1}{1 + 1/k} - \frac{1}{1 + 2/k}] + \cdots + [\frac{1}{1 + (i-1)/k} - \frac{1}{1 + i/k}] \\ = &\frac{1}{1 + 0/k} + [- \frac{1}{1 + 1/k} + \frac{1}{1 + 1/k}] + [ - \frac{1}{1 + 2/k} + \cdots + \frac{1}{1 + (i-1)/k}] - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &1 + 0 + \cdots + 0 - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &\frac{i}{i+k}. }$

(До речі, оскільки це легко інвертується, він негайно забезпечує ефективний спосіб генерування випадкових змінних з цього розподілу: просто обчислити там, де рівномірно розподілений на .) $\lceil \frac{k u}{1 - u} \rceil$ $u$ $(0,1)$

Диференціюючи це вираження відносно показує, як CDF можна записати як цілісний, $i$

CDF (i) = \frac{i}{i + k} = \int_{0}^{i} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} = \sum_{x = 1}^{i} \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}},

$\text{CDF}(i) = \frac{i}{i+k} = \int_0^i \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2} = \sum_{x=1}^i \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2},$

звідки

p (x; k) = \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} .

$p(x;k) = \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2}.$

Ця форма його написання демонструє як параметр масштабу для сімейства (безперервних) розподілів, визначених густиною $k$

f (ξ) d ξ = (1 + ξ)^{- 2} d ξ

$f(\xi)d\xi = (1 + \xi)^{-2}\, d\xi$

і показує, як - дискретизований варіант (масштабується до ), отриманий інтегруванням безперервної ймовірності через інтервал від до . Це очевидно закон про владу з показником . Це спостереження дає вам змогу ознайомитись з великою літературою про закони влади та те, як вони виникають у науці, техніці та статистиці, що може запропонувати багато відповідей на ваші два останні запитання. $p(x;k)$ $f$ $k$ $x-1$ $x$ $-2$

— дзижчати
джерело

(+1) З функції масової ймовірності видно, що як , що, здається, достатньо для висновку, що це розподіл закону влади. Справді, as .

p (x; k) \sim k x^{- 2}

$p(x; k) \sim k x^{-2}$

x \to \infty

$x \to \infty$

p (x; k) x^{2} / k ↑ 1

$p(x;k) x^2 / k \uparrow 1$

x \to \infty

$x \to \infty$

— кардинал

@cardinal Ви маєте рацію, але в цьому аргументі є обмеження: це лише показує, що є асимптотичним законом влади. Розрахунки показують, що це саме дискретна версія закону про владу.

p

$p$

— whuber

Я не зовсім впевнений у відмінність, яку ти намагаєшся намалювати. На жаль, я не отримав шансу подумати про це уважно, але, здається, ви визначаєте дискретний розподіл закону про владу як такий, що є дискретною версією безперервного розподілу закону про владу. Чи правильно я тлумачу ваш коментар? У будь-якому випадку, коли я бачу в літературі посилання на дискретні закони влади, звичайне визначення здається слабшим (тобто асимптотичним), яке я використав. (продовж.)

— кардинал

(Проти.) З іншого боку, розподіл Зіпфа здавалося б максимально чистим дискретним законом про владу, але я не вважаю, що це може бути породжене дискретизацією закону безперервної влади. Я неправильно трактував ваш намір? (До речі, ваш розвиток вище досить приємний. Розпізнавання телескопічної суми для cdf є великим, як і визнання простої схеми вибірки.)

— кардинал

Гаразд, після трохи більшого розслідування я знайшов ще кілька деталей.

Це особливий випадок суцільної суміші геометричного розподілу з бета-версією, тому його можна назвати бета-геометричним розподілом . Зокрема, якщо: і: то граничний розподіл має такий розподіл. Таким чином, це особливий випадок бета-негативного біноміального розподілу .

P \sim B e t a (1, k)

$P \sim \mathrm{Beta}(1,k)$

X | P \sim G e o m e t r i c (P)

$X|P \sim \mathrm{Geometric}(P)$

Y = X + 1

$Y = X+1$

Він має ще пару цікавих властивостей:

Він має нескінченну середню
Він описує власне хвостовий розподіл: якщо має цей розподіл з параметром , то має параметр . $X$ $k$ $X-t | X>t$ $t+k$

— Саймон Берн
джерело