Яке інтуїтивне значення стоїть за випадковою змінною, що визначається як "решітка"?

У теорії ймовірностей негативну випадкову величину $X$ називають решіткою, якщо існує $d \geq 0$ така, що $\sum_{n=0}^{\infty}P(X=nd) = 1$ .

Чи існує геометричне тлумачення, чому це визначення називається решіткою?

Це означає, що дискретний, і існує якийсь регулярний інтервал до його розподілу; тобто маса ймовірностей сконцентрована на кінцевому / підрахунковому наборі точок d , 2 d , 3 d , … .$X$${d, 2d, 3d, \dots}$

Зауважимо, що не всі дискретні розподіли є гратами. Наприклад, якщо може приймати значення { 1 , e , π , 5 } , це не решітка, оскільки немає d такого, щоб усі значення могли бути виражені кратними d .$X$$\{1, e, \pi, 5\}$$d$$d$

Ця термінологія пов'язує випадкову змінну з поняттями теорії груп, що використовуються для вивчення геометричних симетрій. Тому вам може сподобатися бачити більш загальний зв'язок, який висвітлить значення та потенційні можливості ґраткових випадкових змінних.

Фон

У математиці "гратчаста" - це дискретна підгрупа топологічної групи G ( зазвичай передбачається, що вона має кінцевий об'єм ).$\mathcal{L}$$G$

• "Дискретний" означає, що навколо кожного елемента є відкрита множина O g ⊂ L, що містить тільки g себе: O g ∪ L = $g\in\mathcal{L}$$\mathcal{O}_g\subset\mathcal{L}$$g$ . Було б справедливо думати L як бути «мереживний» або «звичайний» розташування точок в G .$\mathcal{O}_g\cup\mathcal{L}=\{g\}$$\mathcal{L}$$G$

• Група діє на L , "рухаючи точки L навколо в G ", утворюючи орбіту з кожної з них. Фундаментальна область цього дії складається з однієї точки в кожній орбіті. G може бути оснащений мірою - міра Хаара - використовується для вимірювання розмірів або обсягами , борелевская вимірних підмножин G . Можна знайти вимірювальну фундаментальну область. Його обсяг є кооб'ем з L . Коли він кінцевий, ми можемо думати, що G є плиткою цієї основної області та елементів L як переміщення плиток навколо.$G$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$G$$G$$G$$\mathcal{L}$$G$$\mathcal{L}$

Будь-яка пара цих фігур морського коня - там, де одна знаходиться правою стороною вгору, а інша догори дном - може бути основоположним напрямком для візуально очевидних решіток в площині Евкліда. MC Ешер, Морський кінь (№ 11) .

"Решітчаста" випадкова величина підтримується на решітці в ( R n , + ) . $X$$(\mathbb{R}^n, {+})$ Це означає, що вся його вірогідність міститься в закритті решітки. Оскільки решітка дискретна, вона замкнута, тому значення знаходяться на решітці майже напевно: Pr ( X ∈ L ) = 1 .$X$$\Pr(X\in\mathcal{L})=1$

Застосування

Група, що має на увазі запитання, - адитивна група дійсних чисел, , з її звичайною (евклідовою) топологією. В якості підгрупи решітка L повинна містити 0 . Одного лише цього буде недостатньо, тому що коефіцієнт R / { 0 } має нескінченний об'єм ("об'єм" = "довжина" в цьому 1D випадку). Таким чином , існує щонайменше , один ненульовий елемент г ∈ L . Усі повноваження цього елемента також повинні бути в підгрупі. Оскільки операція є доповненням , n- а потужність g дорівнює n $(\mathbb{R}, {+})$$\mathcal{L}$$0$$\mathbb{R}/\{0\}$$g\in\mathcal{L}$$n^\text{th}$$g$$ng$. Тому містить усі цілі кратні $\mathcal{L}$$g$ (включаючи від’ємні).

Якщо є два елементи які не є силами один одного, легко показати (використовуючи крихітний біт теорії чисел), що (1) всі комбінації n g + m h , для n , m ∈ Z , перебувають у відповідності один на один із упорядкованими парами ( m , n ) та (2) ці комбінації є щільними в R , що означатиме, що L не є дискретним. З цього прямо можна зробити висновок, що всі елементи в L - це сили єдиного числа$h,g\in\mathcal{L}$$ng+mh$$n,m\in\mathbb{Z}$$(m,n)$$\mathbb{R}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$ .$g$ Це генератор з .$\mathcal{L}$

(Аналогічний аргумент показує, що решітки в повинні мати n генераторів. Генераторами для акварелі Ешера може бути, скажімо, переклад двох одиниць вниз і переклад на одну одиницю вниз і одну одиницю вправо, приблизно. )$(\mathbb{R}^n, {+})$$n$

Отже, відповідна будь-якій реально оціненій решітковій випадковій величині на ( R , + ) повинна бути генератором g ≠ 0 , звідки$X$$(\mathbb{R}, {+})$$g\ne 0$

$$\sum_{n=0}^\infty \Pr(X=ng) \le \sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(X=ng) = \Pr(X\in\mathcal{L}) = 1.$$

Визначення у питанні, таким чином, можна розуміти як визначення невід’ємної змінної решітки. Ми також можемо сказати, що , бо в іншому випадку X підтримується в підгрупі { 0 $\Pr(X=0) \lt 1$$X$$\{0\}$ яка, маючи нескінченний об'єм, не є решіткою.

Узагальнення

$(\mathbb{R}^{+}, {\times})$$\mathcal{L} = \{g^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$$g \gt 0$$|\log(g)|$$Y$

$$\sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(Y=g^n) = 1$$

could be considered a lattice variable on this group. Evidently, $\log(Y)$ would be a lattice variable on $(\mathbb{R}, {+})$.