Різниця в засобах проти середньої різниці

Вивчаючи два незалежні засоби вибірки, нам кажуть, що ми дивимось на "різницю двох засобів". Це означає, що ми беремо середнє значення від сукупності 1 ( ) і віднімаємо з нього середнє значення від сукупності 2 ( ). Отже, наша "різниця у двох засобах" - це ( - ). $\bar y_1$ $\bar y_2$ $\bar y_1$ $\bar y_2$

Під час вивчення парних зразків засобів нам кажуть, що ми дивимося на "середню різницю", . Це обчислюється, беручи різницю між кожною парою, а потім беручи середнє значення всіх цих відмінностей. $\bar d$

Моє запитання: чи отримуємо ми однакове ( - ) проти його якщо ми обчислили їх з двох стовпців даних, і перший раз вважали його двома незалежними вибірками, а другий раз вважали його парними дані? Я розіграв два колонки даних, і здається, що значення однакові! У цьому випадку, чи можна сказати, що різні назви використовуються лише з не кількісних причин? $\bar y_1$ $\bar y_2$ $\bar d$

paired-comparisons paired-data mean

— користувач84756
джерело

Подумайте про це так: як би ви обчислили з непарними даними?

\bar{d}

$\bar d$

— тіньтакер

@ssdecontrol Особливо, якщо розміри вибірки різні.

— Олексій

Відповіді:

(Я припускаю, що ви маєте на увазі "зразок", а не "населення" у першому пункті.)

Еквівалентність легко показати математично. Почніть з двох зразків однакового розміру, і . Потім визначте $\{x_1,\dots,x_n\}$ $\{y_1,\dots,y_n\}$

\begin{aligned} \bar{х} & = \frac{1}{н} \sum_{i = 1}^{н} х_{i} \\ \bar{у} & = \frac{1}{н} \sum_{i = 1}^{н} у_{i} \\ \bar{г} & = \frac{1}{н} \sum_{i = 1}^{н} х_{i} - у_{i} \end{aligned}

$\begin{align} \bar x &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \\ \bar y &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \\ \bar d &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i - y_i \end{align}$

Тоді у вас є:

\begin{aligned} \bar{х} - \bar{у} & = (\frac{1}{н} \sum_{i = 1}^{н} х_{i}) - (\frac{1}{н} \sum_{i = 1}^{н} у_{i}) \\ = \frac{1}{н} (\sum_{i = 1}^{н} х_{i} - \sum_{i = 1}^{н} у_{i}) \\ = \frac{1}{н} ((х_{1} + \dots + х_{н}) - (у_{1} + \dots + у_{н})) \\ = \frac{1}{н} (х_{1} + \dots + х_{н} - у_{1} - \dots - у_{н}) \\ = \frac{1}{н} (х_{1} - у_{1} + \dots + х_{н} - у_{н}) \\ = \frac{1}{н} ((х_{1} - у_{1}) + \dots + (х_{н} - у_{н})) \\ = \frac{1}{н} \sum_{i = 1}^{н} х_{i} - у_{i} \\ = \bar{г} . \end{aligned}

$\begin{align} \bar x - \bar y &= \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) - \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^n y_i \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( \left( x_1 + \dots + x_n \right) - \left( y_1 + \dots + y_n \right) \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( x_1 + \dots + x_n - y_1 - \dots - y_n \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( x_1 - y_1 + \dots + x_n - y_n \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( \left( x_1 - y_1 \right) + \dots + \left( x_n - y_n \right) \right) \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n x_i - y_i \\ &= \bar d. \end{align}$

— shadowtalker
джерело

Але два довірчі інтервали, розраховані на "різницю засобів" та "середню різницю", будуть різними, правда? Це можна побачити, дивлячись на і . Парна "середня різниця" буде відрізнятися для (що дорівнює нулю) порівняно з (що не все дорівнює нулю); різниця засобів не впливає на порядок елементів.

A = [1, 2, 3, 4, 5, . . .]

$A = [1, 2, 3, 4, 5, ...]$

B = [. . ., 5, 4, 3, 2, 1]

$B = [..., 5, 4, 3, 2, 1]$

A - A

$A - A$

A - B

$A - B$

— бер

Не можу більше редагувати попереднє повідомлення Третє речення повинно починатися «Послідовність спарених" середніх відмінностей "...»

— Берс

@bers що стосується ?

A - A

$A-A$

— shadowtalker

Нехай . Тоді і це дві різні послідовності. Інтервал довіри для середньої парної різниці, безумовно, буде різним в обох випадках. Але різниця засобів, а отже, і довірчий інтервал, буде невід’ємною як для і для . Або я помиляюся?

C = A

$C=A$

A - C

$A-C$

A - B

$A-B$

A - C

$A-C$

A - B

$A-B$

— бер

@bers Я думаю, що ви заплутані, але я плутаю те, що ви плутаєте.

— shadowtalker

розподіл середньої різниці повинен бути більш жорстким, ніж розподіл різниці засобів. Дивіться це на простому прикладі: середнє значення в зразку 1: 1 10 100 1000 середнє значення в зразку 2: 2 11 102 1000 різниця засобів становить 1 1 2 0 (на відміну від самих зразків) має малий std.

— Влад
джерело