Чи є медіана "метричною" чи "топологічною" властивістю?

Прошу вибачення за незначне зловживання термінологією; Я сподіваюся, що стане зрозумілим, що я маю на увазі нижче.

Розглянемо випадкову величину . Як середнє, так і медіанне можна охарактеризувати за критерієм оптимальності: середнє значення - це число яке мінімізує , а медіана - це число, яке мінімізує . У цій перспективі різниця між середнім та медіаною полягає у виборі "метрики" для оцінки відхилень, квадрата чи абсолютного значення. $X$ $\mu$ $\mathrm E((X - \mu)^2)$ $\mathrm E(|X - \mu|)$

З іншого боку, медіана - це число, для якого (припускаючи абсолютну безперервність), тобто це визначення залежить лише від здатності впорядковувати значення і не залежить від наскільки вони відрізняються. Наслідком цього є те, що для кожної суворо зростаючої функції , , це означає, що вона "топологічна" в значенні інваріантність при "гумоподібних" перетвореннях. $\mathrm{Pr}(X \leq \mu) = \frac12$ $X$ $f(x)$ $\mathrm{median}(f(X)) = f(\mathrm{median}(X))$

Тепер я зробив математику і знаю, що, починаючи з критерію оптимальності, я можу дійти до -квантилу, тому обидва описують одне і те ж. Але все ще я розгублений, бо моя інтуїція підказує мені, що те, що залежить від "метрики", не може призвести до "топологічної" властивості. $\frac12$

Чи може хтось розгадати цю загадку для мене?

mean median

— А. Донда
джерело

Гарний титул! :-)

— Луїс Мендо

Недолік ваших міркувань полягає в тому, що те, що залежить від метрики, не може бути топологічною властивістю.

Візьміть компактність метричних просторів. Це можна визначити за метрикою: компактність означає, що простір є повним (залежить від метрики) і повністю обмеженим (залежить від метрики). Однак виявляється, що ця властивість є інваріантною за гомеоморфізмом, і справді її можна визначити лише з точки зору топології (кінцеві підкришки будь-якого покриву, звичайний спосіб).

Інший приклад - різні теорії гомології. Тільки особлива гомологія є справді топологічною у своєму визначенні. Всі інші, спрощені, стільникові, Де Рам (когомологія, але дайте мені трохи розкутості) тощо, залежать від додаткової структури, але виявляються рівнозначними (і зовсім трохи легше працювати).

Це випливає багато з математики, іноді найпростіший спосіб визначити щось з точки зору якоїсь допоміжної структури, і тоді показано, що отримана сутність насправді взагалі не залежить від вибору допоміжної структури.

— Метью Друрі
джерело

Дякую за відповідь! Схоже, ти сприймаєш мою термінологію серйозніше, ніж я вважав можливим. Я маю визнати, що я маю лише найосновніші знання про топологічні та метричні простори, тому це може бути дурним питанням: я розумію, що використання допоміжної структури полегшує життя, хоча це не суворо необхідно - добре, можливо, саме так тут також.

— А.Донда

Але ви також говорите, що "отримана сутність насправді взагалі не залежить від вибору допоміжної структури". Я правильно розумію, що можна використовувати різні допоміжні структури, щоб дійти до такої самої топології? Якщо так, то аналогія тут розпадається, тому що, використовуючи «квадратну метрику», я потрапляю не до медіани, а до середнього, яке не є інваріантним при монотонних перетвореннях.

— А.Донда

Гарна думка. Я гадаю, що я говорю, що це не дивно, коли щось, що можна визначити в структурі, може бути визначеним з точки зору слабшої структури - і часто, коли це відбувається, ви знайшли корисну концепцію! У вашому випадку ви можете визначити медіану з точки зору арифметики та інтеграції дійсних чисел, що є великою структурою, але насправді є визначення, яке торгує арифметикою для упорядкування, слабшою структурою. Мої випадки були в крайній крайності, де слабша структура, як виявляється, майже не буває.

— Метью Друрі

Ще один момент. Можна сказати, що причиною того, що монотонні перетворення зберігають медіану, є те, що існує спосіб їх визначення за структурою, для якої монотонні перетворення є морфізмами . Морфізм - це загальне абстрактне нісенітниця, яке означає функцію, яка зберігає певну структуру .

— Метью Друрі

Гаразд, я розумію загальну точку. Але я все ще відчуваю, що щось залишається незрозумілим, зокрема, згаданий вище пункт. Я схвалив, але з цієї причини я не прийму вашої відповіді - можливо, хтось придумає додаткове розуміння. Знову дякую!

— А.Донда