Норма, поділена на

нехай і . $Z \sim N(0,1)$ $W \sim \chi^2(s)$

Якщо і незалежно розподілені, то змінна слідує за розподілом зі ступенями свободи . $Z$ $W$ $Y = \frac{Z}{\sqrt{W/s}}$ $t$ $s$

Я шукаю доказ цього факту, посилання є досить хорошим, якщо ви не хочете записувати повний аргумент.

probability distributions references

— Моноліт
джерело

Це формально продемонстровано на stats.stackexchange.com/questions/52906 : співвідношення, написане як інтеграл, вважається сумішшю гауссів, і це свідчить про те, що суміш знаходиться в розподілі.

— whuber

У деяких підручниках це визначення t-розподілу. Не потрібно це доводити. Однак як отримати PDF-файл із таким визначенням, однак є вагомим питанням.

— mpiktas

Відповіді:

Дозволяє $Y$ бути чі-квадратною випадковою змінною з $n$ ступенів свободи. Тоді квадрат-корінь $Y$ , $\sqrt Y\equiv \hat Y$ поширюється як хі-розподіл з $n$ ступеня свободи, яка має щільність

\begin{matrix} (1) & f_{\hat{Y}} (\hat{у}) = \frac{2^{1 - \frac{н}{2}}}{Γ (\frac{н}{2})} {\hat{у}}^{н - 1} досвід {- \frac{{\hat{у}}^{2}}{2}} \end{matrix}

$f_{\hat Y}(\hat y) = \frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} \hat y^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {\hat y^2}{2}} \Big\} \tag{1}$

Визначте $X \equiv \frac {1}{\sqrt n}\hat Y$ . Тоді $\frac {\partial \hat Y}{\partial X} = \sqrt n$ , і за формулою зміни змінної ми маємо це

f_{Х} (х) = f_{\hat{Y}} (\sqrt{н} х) | \frac{\partial \hat{Y}}{\partial Х} | = \frac{2^{1 - \frac{н}{2}}}{Γ (\frac{н}{2})} (\sqrt{н} х)^{н - 1} досвід {- \frac{(\sqrt{н} х)^{2}}{2}} \sqrt{н}

$f_{X}(x) = f_{\hat Y}(\sqrt nx)\Big |\frac {\partial \hat Y}{\partial X} \Big| = \frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} (\sqrt nx)^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {(\sqrt nx)^2}{2}} \Big\}\sqrt n$

\begin{matrix} (2) & = \frac{2^{1 - \frac{н}{2}}}{Γ (\frac{н}{2})} н^{\frac{н}{2}} х^{н - 1} досвід {- \frac{н}{2} х^{2}} \end{matrix}

$=\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}x^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {n}{2}x^2} \Big\} \tag{2}$

Дозволяє $Z$ бути стандартною звичайною випадковою змінною, незалежною від попередніх, і визначити випадкову змінну

Т = \frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{н}}} = \frac{Z}{Х}

$T = \frac{Z}{\sqrt \frac Yn}= \frac ZX$ .

За стандартною формулою для функції щільності відношення двох незалежних випадкових величин,

f_{Т} (т) = \int_{- \infty}^{\infty} | х | f_{Z} (х т) f_{Х} (х) г х

$f_T(t) = \int_{-\infty}^{\infty} |x|f_Z(xt)f_X(x)dx$

Але $f_X(x) = 0$ для інтервалу $[-\infty, 0]$ тому що $X$ є негативним rv. Таким чином, ми можемо усунути абсолютне значення та зменшити інтеграл до

f_{Т} (т) = \int_{0}^{\infty} х f_{Z} (х т) f_{Х} (х) г х

$f_T(t) = \int_{0}^{\infty} xf_Z(xt)f_X(x)dx$

= \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp {- \frac{(x t)^{2}}{2}} \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} x^{n - 1} \exp {- \frac{n}{2} x^{2}} d х

$= \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \Big \{{-\frac{(xt)^2}{2}}\Big\}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}x^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {n}{2}x^2} \Big\}dx$

\begin{matrix} (3) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{2^{1 - \frac{н}{2}}}{Γ (\frac{н}{2})} н^{\frac{н}{2}} \int_{0}^{\infty} х^{н} досвід {- \frac{1}{2} (н + т^{2}) х^{2}} г х \end{matrix}

$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}\int_{0}^{\infty} x^n \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) x^2\Big\} dx \tag{3}$

Інтегрант в Росії $(3)$ виглядає багатообіцяючим, що врешті-решт перетвориться на функцію щільності Гамма. Межі інтеграції є правильними, тому нам потрібно маніпулювати інтегралом, перетворюючись на функцію щільності Гамма, не змінюючи меж. Визначте змінну

м \equiv х^{2} \Rightarrow г м = 2 х г х \Rightarrow г х = \frac{г м}{2 х}, х = м^{\frac{1}{2}}

$m \equiv x^2 \Rightarrow dm = 2xdx \Rightarrow dx = \frac {dm}{2x}, \; x = m^{\frac 12}$ Здійснення заміни в інтеграді маємо

\begin{matrix} (4) & Я_{3} = \int_{0}^{\infty} х^{н} досвід {- \frac{1}{2} (н + т^{2}) м} \frac{г м}{2 х} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} м^{\frac{н - 1}{2}} досвід {- \frac{1}{2} (н + т^{2}) м} г м \end{matrix}

$I_3=\int_{0}^{\infty} x^n \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) m\Big\} \frac {dm}{2x} \\ = \frac 12\int_{0}^{\infty} m^{\frac {n-1}{2}} \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) m\Big \} dm \tag{4}$

Гума-щільність може бути записана

G a m m a (m; k, θ) = \frac{m^{k - 1} \exp {- \frac{m}{θ}}}{θ^{k} Γ (k)}

$Gamma(m;k,\theta) = \frac {m^{k-1} \exp\Big\{-\frac{m}{\theta}\Big \}}{\theta^k\Gamma(k)}$

Відповідні коефіцієнти ми повинні мати

к - 1 = \frac{н - 1}{2} \Rightarrow к^{*} = \frac{н + 1}{2}, \frac{1}{θ} = \frac{1}{2} (н + т^{2}) \Rightarrow θ^{*} = \frac{2}{(н + т^{2})}

$k-1 = \frac {n-1}{2} \Rightarrow k^* = \frac {n+1}{2}, \qquad \frac 1\theta =\frac 12 (n+t^2) \Rightarrow \theta^* = \frac 2 {(n+t^2)}$

Для цих значень $k^*$ і $\theta^*$ терміни в інтеграді, що включає змінну, є ядром гамма-щільності. Отже, якщо ми поділимо інтеград на $(\theta^*)^{k^*}\Gamma(k^*)$ і помноживши поза інтегралом на однакову величину, інтегралом буде гамма-дистр. функціонує і буде дорівнювати єдності. Тому ми приїхали

Я_{3} = \frac{1}{2} (θ^{*})^{к^{*}} Γ (к^{*}) = \frac{1}{2} (\frac{2}{н + т^{2}})^{\frac{н + 1}{2}} Γ (\frac{н + 1}{2}) = 2^{\frac{н - 1}{2}} н^{- \frac{н + 1}{2}} Γ (\frac{н + 1}{2}) {(1 + \frac{т^{2}}{н})}^{- \frac{1}{2} (н + 1)}

$I_3 = \frac12(\theta^*)^{k^*}\Gamma(k^*) = \frac12 \Big (\frac 2 {n+t^2}\Big ) ^{\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right) = 2^ {\frac {n-1}{2}}n^{-\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right)\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

Вставлення сказаного в еквівалент. $(3)$ ми отримуємо

f_{Т} (т) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{2^{1 - \frac{н}{2}}}{Γ (\frac{н}{2})} н^{\frac{н}{2}} 2^{\frac{н - 1}{2}} н^{- \frac{н + 1}{2}} Γ (\frac{н + 1}{2}) {(1 + \frac{т^{2}}{н})}^{- \frac{1}{2} (н + 1)}

$f_T(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}2^ {\frac {n-1}{2}}n^{-\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right)\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

= \frac{Γ [(н + 1) / 2]}{\sqrt{н π} Γ (н / 2)} {(1 + \frac{т^{2}}{н})}^{- \frac{1}{2} (н + 1)}

$=\frac{\Gamma[(n+1)/2]}{\sqrt{n\pi}\,\Gamma(n/2)}\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

... що називається (функцією щільності) t-розподілу Стьюдента, с $n$ ступенів свободи.

— Алекос Пападопулос
джерело

Хоча ES Pearson не сподобалось, оригінальний аргумент Фішера був геометричним, простим, переконливим та суворим. Він спирається на невелику кількість інтуїтивних та легко встановлених фактів. Вони легко візуалізуються, коли $s=1$ або $s=2$ , де геометрію можна візуалізувати у двох-трьох вимірах. По суті, це означає використання циліндричних координат в $\mathbb{R}^s\times\mathbb{R}$ проаналізувати $s+1$ iid Нормальні змінні.

$s+1$ незалежні та однаково розподілені нормальні змінні $X_1, \ldots, X_{s+1}$ сферично симетричні. Це означає, що радіальна проекція точки $(X_1, \ldots, X_{s+1})$ на одиничну сферу $S^s \subset \mathbb{R}^{s+1}$ має рівномірний розподіл на $S^s$ .
А $\chi^2(s)$ розподіл - це сума квадратів $s$ незалежний стандарт Нормальні змінні.
Таким чином, установка $Z=X_{s+1}$ і $W = X_1^2 + \cdots + X_s^2$ , співвідношення $Z/\sqrt{W}$ - тангенс широти $\theta$ точки $(X_1, \ldots, X_s, X_{s+1})$ в $\mathbb{R}^{s+1}$ .
$\tan\theta$ не змінюється радіальним проекцією на $S^s$ .
Набір визначається всіма точками широти $\theta$ на $S^s$ є $s-1$ розмірна сфера радіуса $\cos \theta$ . Його $s-1$ тому розмірна міра пропорційна
$\cos^{s - 1} θ = (1 + \tan^{2} θ)^{- (s - 1) / 2} .$ $\cos^{s-1}\theta = (1 + \tan^2\theta)^{-(s-1)/2}.$
Диференційний елемент є $\mathrm{d}(\tan\theta) = \cos^{-2}\theta \,\mathrm{d}\theta = (1 + \tan^2\theta) \,\mathrm{d}\theta$ .
Написання $t = Z/\sqrt{W/s} = \sqrt{s}\tan\theta$ дає $\tan\theta = t/\sqrt{s}$ , звідки
$1 + t^{2} / s = 1 + \tan^{2} θ$ $1+t^2/s = 1+\tan^2\theta$ і $d t = \sqrt{s} d \tan θ = \sqrt{s} (1 + \tan^{2} θ) d θ .$ $\mathrm{d}t = \sqrt{s}\,\mathrm{d}\tan\theta = \sqrt{s}(1+\tan^2\theta)\,\mathrm{d}\theta.$ Разом ці рівняння мають на увазі $d θ = \frac{1}{\sqrt{s}} {(1 + t^{2} / s)}^{- 1} d t .$ $\mathrm{d}\theta = \frac{1}{\sqrt{s}} \left(1+t^2/s\right)^{-1}\mathrm{d}t.$ Включення фактора $1/\sqrt{s}$ в нормалізуючу константу $C(s)$ показує щільність пропорційна

$(1 + \tan^{2} θ)^{- (s - 1) / 2} d θ = (1 + t^{2} / s)^{- (s - 1) / 2} (1 + t^{2} / s)^{- 1} d t = (1 + t^{2} / s)^{- (s + 1) / 2} d t .$ $(1 + \tan^2\theta)^{-(s-1)/2}\,\mathrm{d}\theta = (1 + t^2/s)^{-(s-1)/2}\ (1 + t^2/s)^{-1}\,\mathrm{d}t = (1 + t^2/s)^{-(s+1)/2}\,\mathrm{d}t.$

Це щільність Стьюдента.

Малюнок

На малюнку зображена верхня півкуля (с $Z \ge 0$ ) від $S^s$ в $\mathbb{R}^{s+1}$ . Перехрещені осі простягаються на $W$ -гіперплан. Чорні точки є частиною випадкової вибірки а $s+1$ -різний стандарт Нормальний розподіл: це значення, що проектуються на постійну задану широту $\theta$ , показана у вигляді жовтої смуги. Щільність цих точок пропорційна $s-1$ -вимірний об'єм тієї смуги, яка сама є $S^{s-1}$ радіусу $\theta$ . Конус над цією смугою тягнеться до кінця на висоті $\tan \theta$ . До коефіцієнта $\sqrt{s}$ , розподіл студента t $s$ градусів свободи - це розподіл цієї висоти, зважене мірою жовтої смуги при нормалізації площі одиничної сфери $S^s$ до єдності.

До речі, константа нормалізації повинна бути $1/\sqrt{s}$ (як уже згадувалося) разів відносні обсяги сфер ,

\begin{aligned} С (с) & = \frac{1}{\sqrt{с}} \frac{| S^{с - 1} |}{| S^{с} |} = \frac{1}{\sqrt{с}} \frac{с π^{с / 2} Γ (\frac{с + 1}{2} + 1)}{(с + 1) π^{(с + 1) / 2} Γ (\frac{с}{2} + 1)} \\ = \frac{1}{\sqrt{с}} \frac{с π^{с / 2} (с + 1) / 2 Γ (\frac{с + 1}{2})}{(с + 1) π^{(с + 1) / 2} (с / 2) Γ (\frac{с}{2})} \\ = \frac{Γ (\frac{с + 1}{2})}{\sqrt{с π} Γ (\frac{с}{2})} . \end{aligned}

$\eqalign{ C(s) &= \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{|S^{s-1}|}{|S^s|} = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s \pi^{s/2} \Gamma(\frac{s+1}{2} + 1)}{(s+1)\pi^{(s+1)/2} \Gamma(\frac{s}{2}+1)} \\ &=\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s \pi^{s/2} (s+1)/2\Gamma(\frac{s+1}{2})}{(s+1)\pi^{(s+1)/2} (s/2)\Gamma(\frac{s}{2})} \\ &= \frac{\Gamma(\frac{s+1}{2})}{\sqrt{s\pi}\Gamma(\frac{s}{2})}. }$

Остаточне вираз, хоча звичайні, злегка маскує красиво просте початкове вираз, яке ясно показує значення з $C(s)$ .

Фішер пояснив цю деривацію WS Gosset (оригінал "Студент") у листі. Госсет спробував опублікувати його, надавши Фішеру повний кредит, але Пірсон відхилив папери. Метод Фішера, застосований до фактично подібної, але більш важкої проблеми пошуку розподілу коефіцієнта кореляції вибірки, з часом був опублікований.

Список літератури

Р. А. Фішер, Частотний розподіл значень коефіцієнта кореляції у зразках невизначено великої популяції. Біометріка Vol. 10, № 4 (травень, 1915 р.), Стор 507-521. Доступний в Інтернеті за адресою https://stat.duke.edu/courses/Spring05/sta215/lec/Fish1915.pdf (і в багатьох інших місцях за допомогою пошуку, як тільки це посилання зникає).

Джоан Фішер Коробка, Госсет, Фішер і дистрибуція. Американський статистик , Vol. 35, № 2 (травень 1981 р.), Стор 61-66. Доступно в Інтернеті за адресою http://social.rollins.edu/wpsites/bio342spr13/files/2015/03/Studentttest.pdf .

Е. Л. Леманн, Фішер, Нейман та створення класичної статистики. Спрингер (2011), глава 2.

— дзижчати
джерело

Це фантастичний доказ! Я щиро сподіваюся, що ви знайдете це повідомлення, хоча це вже кілька років. На шостому етапі цього доказу, я вважаю, є помилка. Cos ^ -2 (theta) = (1 + tan ^ 2 (theta)), а не його обернена. Молитися там легко виправити?

— математики

@Math Дякую за ваші зауваження. Я не знаходжу помилки на кроці 6. Можливо, ви намагаєтесь прочитати "

\cos^{- 2} (θ)

$\cos^{-2}(\theta)$ "(що означає

- 2

$-2$ потужність

\cos (θ)

$\cos(\theta)$ ) ніби це означало "

{(ArcCos (θ))}^{2}

$\left(\operatorname{ArcCos}(\theta)\right)^{2}$ "?

— whuber

Я використовував просту ідентичність

s e c^{2} θ = t a n^{2} θ + 1

$sec^{2}\theta = tan^{2}\theta + 1$ вивести це

c o s θ = (t a n^{2} θ + 1)^{- 1 / 2}

$cos\theta=(tan^{2}\theta+1)^{-1/2}$ у рядку 5. Але цим самим міркуванням у рядку 6,

c o s^{- 2} θ = s e c^{2} θ = (t a n^{2} θ + 1)

$cos^{-2}\theta = sec^{2}\theta = (tan^{2}\theta + 1)$ . Це суперечить твердженню, що диференціальний елемент дорівнює

(t a n^{2} θ + 1)^{- 1}

$(tan^{2}\theta + 1)^{-1}$

— математики

@Math Дякую - звичайно, ти маєш рацію. Я відредагував точки (6) та (7) для виправлення алгебри.

— whuber

Вау, яке полегшення!

— математики

Я б спробував змінити змінні. Встановити $Y=\frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{s}}}$ і $X=Z$ наприклад. Тому $Z=X$ , $W=\frac{sX^2}{Y^2}$ . Тоді $f_{X,Y}(x,y)=f_{Z,W}(x,\frac{sx^2}{y^2})|\det(J)|$ . Де $J$ - матриця Якобіа для багатоваріантної функції $Z$ і $W$ з $X$ і $Y$ . Тоді ви можете інтегруватися $x$ з щільності суглоба. $\frac{\partial Z}{\partial X}=1$ , $\frac{\partial Z}{\partial Y}=0$ , $\frac{\partial W}{\partial X}=\frac{2sX}{Y^2}$ , і $\frac{\partial W}{\partial Y}=\frac{-2sX^2}{Y^3}$ .

J = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ * & \frac{- 2 с Х^{2}}{Y^{3}} \end{matrix})

$J= \begin{pmatrix} 1&0\\ *&\frac{-2sX^2}{Y^3} \end{pmatrix}$

Тому $|\det(J)|=\frac{2sx^2}{y^3}$ . Я щойно подивився на Елементи теорії розподілу Томаса А. Северині, і там вони беруть участь $X=W$ . Інтегрувати речі стає простіше, використовуючи властивості розподілу Gaama. Якщо я користуюся $X=Z$ , Мені, мабуть, знадобиться заповнити квадрати.

Але я не хочу робити розрахунок.

— зтих
джерело

Я вас не порушив, насправді я просто підтримав вас. Але я думаю, що, можливо, перед початком редагування прибув протокол.

— Моноліт

Вибачте з цього приводу, я буду обережним відтепер.

— зтих