Список літератури: Хвіст зворотного cdf

Я майже впевнений, що вже бачив такий результат у статистиці, але не можу пригадати, де.

Якщо - додатна випадкова величина і то коли , де - КФР . $X$ $\mathbb{E}(X)<\infty$ $\varepsilon F^{-1}(1-\varepsilon) \to 0$ $\varepsilon\to 0^+$ $F$ $X$

Це легко зрозуміти геометрично, використовуючи рівність $\mathbb{E}(X)=\int 1-F$ та розглянувши горизонтальний зріз на $\varepsilon$ області під кривою інтеграла $1-F$ .

Чи знаєте ви посилання на цей результат і чи має він ім'я?

— Стефан Лоран
джерело

"Більш загальне" - це пряме застосування інтеграції по частинах. Це ледве потребує посилання!

— whuber

@whuber Я також прошу довідку про перший результат.

— Стефан Лоран

Ви, можливо, бачили це, або принаймні щось дуже подобається, на сайті stats.stackexchange.com/questions/18438 . Цей результат зумовлений заміною інтеграла, яка знову ж таки є такою базовою, що не можна було б очікувати, що вона буде особливо відзначена в літературі чи дана якась особлива назва.

— whuber

@whuber Я не бачу у вашому посиланні. Більше того, результат, який я згадую, справедливий і для дискретного (взявши як послідовність і замінивши на у більш загальному твердженні). Перший результат справедливий навіть для загального , я думаю.

ϵ F^{- 1} (1 - ϵ) \to 0

$\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) \to 0$

F

$F$

g

$g$

\int

$\int$

\sum

$\sum$

F

$F$

— Стефан Лоран

Я вважаю, що це можна використати без будь-яких посилань за умови, що це заявлено в більш класичних термінах. Грубо кажучи, це: для з , прямий наслідок: і домінуючої конвергенції. Потрібно трохи попрацювати, щоб отримати твердження для (лівого безперервного) зворотного у загальному випадку, коли може мати кроки.

x \bar{F} (x) \to 0

$x\,\bar{F}(x) \to 0$

x \to \infty

$x \to \infty$

\bar{F} := 1 - F

$\bar{F} := 1 - F$

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \,\text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X \,1_{\{X > x\}}]$

F^{- 1}

$F^{-1}$

F

$F$

— Ів

Щоб вирішити "маленьку роботу", запропоновану Івом у коментарях, геометрія пропонує суворий і цілком загальний доказ.

Якщо вам подобається, ви можете замінити всі посилання на області інтегралами та посилання на "довільні" звичайними аргументами epsilon-delta. Переклад легкий.

Щоб встановити малюнок, нехай є функцією виживання $G$

G (x) = 1 - F (x) = Pr (X > x) .

$G(x) = 1-F(x) = \Pr(X \gt x).$

На малюнку ділянки частина . (Зауважте стрибок у графіку: цей конкретний розподіл не є безперервним.) Показується великий поріг і обрана крихітна ймовірність (так що ). $G$ $T$ $\epsilon \le G(T)$ $G^{-1}(\epsilon)\ge T$

Ми готові піти: значення, яке нас цікавить, (те, яке ми хочемо показати, сходить до нуля) - площа білого прямокутника з висотою та основою від до . Зв’яжемо цю область з очікуванням , тому що єдине доступне нам припущення - це таке очікування існує і є кінцевим. $\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) = \epsilon G^{-1}(\epsilon)$ $\epsilon$ $x=0$ $x= G^{-1}(\epsilon)$ $F$

Позитивна частина очікування - площа під кривою виживання (від до ): $E_{+}$ $\mathbb{E}_F(X)$ $0$ $\infty$

E_{F} (X) = E_{+} - E_{-} = \int_{0}^{\infty} G (x) d x - \int_{- \infty}^{0} F (x) d x .

$\mathbb{E}_F(X) = E_{+}-E_{-} = \int_0^\infty G(x) dx - \int_{-\infty}^0 F(x) dx.$

Оскільки повинен бути кінцевим (бо інакше саме очікування не існувало б і не було кінцевим), ми можемо вибрати настільки великим, що площа під між і становить усі або майже всі з . $E_{+}$ $T$ $G$ $0$ $T$ $E_{+}$

Усі шматки тепер на місці: графік , поріг , мала висота та права кінцева точка пропонують розсічення на області, які ми може проаналізувати: $G$ $T$ $\epsilon$ $G^{-1}(\epsilon)$ $E_{+}$

Оскільки переходить до нуля зверху, площа білого прямокутника з базою скорочується до нуля, оскільки залишається постійним. ( Саме тому було представлено ; це ключова ідея цієї демонстрації. ) $\epsilon$ $0\le x \lt T$ $T$ $T$
Синю область можна зробити максимально близькою до як вам може сподобатися, починаючи з відповідно великого і вибираючи малий . $E_{+}$ $T$ $\epsilon$
Отже, площа, що залишилася - яка, очевидно, не перевищує білого прямокутника з основою від до може бути довільно невеликою. (Іншими словами, просто ігноруйте червону та золоту області.) $x=T$ $x=G^{-1}(\epsilon)$

Таким чином ми розбили на дві частини, області яких обидві сходяться до нуля. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)$ Таким чином, , QED. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)\to 0$

— дзижчати
джерело