Як розрахувати рівень довіри для розподілу Пуассона?

32

Хотілося б знати, наскільки я впевнений у своєму . Хтось знає про спосіб встановити верхній і нижній рівні довіри для розподілу Пуассона? $\lambda$

Спостереження ( ) = 88 $n$
Середня вибірка ( ) = 47,18182 $\lambda$

як би виглядала 95-відсоткова впевненість у цьому?

poisson-distribution confidence-interval

— Тревіс
джерело

Ви також можете розглянути можливість завантаження своїх оцінок. Ось короткий підручник з завантаження.

— Марк Т Паттерсон

27

Для Пуассона середнє значення та дисперсія є обома . Якщо потрібно інтервал довіри навколо лямбда, ви можете обчислити стандартну помилку як . $\lambda$ $\sqrt{\lambda / n}$

95-відсотковий інтервал довіри - . $\hat{\lambda} \pm 1.96\sqrt{\hat{\lambda} / n}$

— Нік Стаунер
джерело

26

Це добре, коли велика, оскільки тоді Пуассон адекватно наближений нормальним розподілом. Для малих значень або більшої впевненості доступні кращі інтервали. Дивіться math.mcmaster.ca/peter/s743/poissonalpha.html для двох з них разом з аналізом їх фактичного покриття. (Тут "точний" інтервал дорівнює (45,7575, 48,6392), інтервал "Пірсон" дорівнює (45,7683, 48,639), а нормальне наближення дає (45,7467, 48,617): це трохи занадто низько, але досить близько, тому що

n λ

$n \lambda$

n λ = 4152

$n \lambda = 4152$

— 4152.

4

Для інших розгублених, як я: ось опис, звідки береться 1,96.

— mjibson

2

Як ви обчислили точний інтервал для цієї проблеми, враховуючи інформацію на цьому веб-сайті, надану whuber? Я не міг перейти, тому що на цьому веб-сайті вказується лише те, як діяти, коли у вас є один зразок. Можливо, я просто не розумію чогось простого, але мій розподіл має набагато менше значення лямбда (n), тому я не можу використовувати нормальне наближення і не знаю, як обчислити точне значення. Будь-яка допомога буде дуже вдячна. Спасибі!

Тут вони використовують стандартне відхилення середнього права? Тобто SE = sig/sqrt(N) = sqrt(lam/N),? Це мало б сенс, оскільки стандартне відхилення одиничних значень sigговорить нам про ймовірність отримання випадкових вибірок з розподілу Пуассона, тоді як, SEяк визначено вище, нам говорить про нашу впевненість lam, враховуючи кількість вибірок, які ми використовували для його оцінки.

— AlexG

17

У цій статті розглянуто 19 різних способів розрахунку довірчого інтервалу для середнього розподілу Пуассона.

http://www.ine.pt/revstat/pdf/rs120203.pdf

— Том
джерело

2

Незважаючи на повідомлення мода тут, мені подобається ця відповідь такою, яка є, тому що вона вказує на те, що щодо оцінювання вимірюваної системи Пуассона існує менше загальної думки.

— Карл Віттофт

7

Окрім відповідей, які надали інші, ще один підхід до цієї проблеми досягається за допомогою модельного підходу. Підхід до центральної граничної теореми, безумовно, справедливий, і завантажувані оцінки забезпечують великий захист від невеликих проблем вибірки та помилок.

Для чистої ефективності ви можете отримати кращий довірчий інтервал для , використовуючи підхід на основі регресійної моделі. Не потрібно проходити виводи, але простий обчислення в R йде так: $\lambda$

x <- rpois(100, 14)
exp(confint(glm(x ~ 1, family=poisson)))

Це несиметрична оцінка інтервалу, пам'ятайте, оскільки природним параметром пуассона glm є відносна швидкість журналу! Це є перевагою, оскільки існує тенденція до перекосу даних, що підраховуються праворуч.

Наведений вище підхід має формулу, і це:

\exp (\log \hat{λ} \pm \sqrt{\frac{1}{n \hat{λ}}})

$\exp\left( \log \hat{\lambda} \pm \sqrt{\frac{1}{n\hat{\lambda} }}\right)$

Цей довірчий інтервал є "ефективним" в тому сенсі, що він походить від максимальної оцінки ймовірності за шкалою природних параметрів (log) для даних Пуассона, і забезпечує більш жорсткий інтервал довіри, ніж інтервал на основі шкали підрахунку, зберігаючи номінальне покриття 95% .

— АдамО
джерело

+1 Я думаю, що я би використовував інший прикметник, ніж ефективність, хоча (або бути більш зрозумілим, ви маєте на увазі обчислювальну чи кодову ефективність гольфу). коментар whuber вказує на ресурс, який дає точні інтервали, а підхід glm заснований також на асимптотичних результатах. (Хоча це більш загально, тому мені подобається також рекомендувати такий підхід.)

— Енді W

Насправді, думаючи про це ще декілька, точне висвітлення посилань на (я думаю) застосовується лише в тому випадку, якщо ви вказуєте не дивлячись на дані. Дивіться швидке моделювання, покриття, розраховане на основі спостережуваного значення (для нових спостережень), значно нижче. Швидке моделювання тут .

μ

$\mu$

— Andy W

1

Який ваш авторитет для цієї формули. Чи можемо ми мати цитування?

— pauljohn32

@AndyW: ваше посилання недійсне для швидкого моделювання

— pauljohn32

1

@ pauljohn32 ознайомтеся з текстом Casella Berger, особливо щодо експоненціальної родини, коефіцієнт журналу - це природний параметр.

— AdamO

5

З огляду на поширення Пуассона ,

кількість підрахованих подій дорівнює n.
середнє значення ( $\lambda$ $\sigma^2$

Крок за кроком,

$\hat \lambda = n \approx \lambda$
$n \gt 20$ $\sigma$

s t d e r r = σ = \sqrt{λ} \approx \sqrt{n}

$stderr = \sigma = \sqrt{\lambda} \approx \sqrt{n}$

Тепер 95% довірчий інтервал -

I = \hat{λ} \pm 1.96 s t d e r r = n \pm 1.96 \sqrt{n}

$I = \hat \lambda \pm 1.96 \space stderr = n \pm 1.96 \space \sqrt{n}$

[Відредаговано] Деякі розрахунки на основі даних запитання,

$\lambda$

Я роблю це припущення, оскільки оригінальне запитання не дає жодного контексту щодо експерименту чи того, як були отримані дані (що має надзвичайно важливе значення при маніпулюванні статистичними даними).
95% довірчий інтервал для конкретного випадку

I = λ \pm 1.96 s t d e r r = λ \pm 1.96 \sqrt{λ} = 47.18182 \pm 1.96 \sqrt{47.18182} \approx [33.72, 60.64]

$I = \lambda \pm 1.96 \space stderr = \lambda \pm 1.96 \space \sqrt{\lambda} = 47.18182 \pm 1.96 \space \sqrt{47.18182} \approx [33.72, 60.64]$

Отже, оскільки вимірювання (n = 88 подій) знаходиться за межами довірчого інтервалу 95%, ми робимо висновок, що,

Процес не слідує процесу Пуассона, або,
$\lambda$

$\sqrt{\lambda/n}$

— jose.angel.jimenez
джерело

1

λ

$\lambda$

n \approx λ

$n\approx\lambda$

2

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

2

Я вважаю, що відповідь jose.angel.jiminez, наведена вище, є невірною та виникає через неправильне прочитання оригінального питання. У початковому плакаті було зазначено "Спостереження (n) = 88" - це кількість спостережуваних інтервалів часу, а не кількість спостережуваних подій загалом або за інтервал. Середня кількість подій на інтервал, протягом вибірки з 88 інтервалів спостереження, - лямбда, подана оригінальним плакатом. (Я б включив це як коментар до публікації Хосе, але я занадто новий для сайту, щоб його можна було коментувати.)

— user44436

@ user44436 додав відповідь, яка повинна бути коментарем. Я повторно розміщую це як коментар, щоб ви могли його побачити, і тому що, як невідповідь, його можна буде зняти: ------- Я вважаю, що відповідь Джозею вище неправильна і виникає з омани початкового питання. На початковому плакаті зазначалося Спостереження (n) = 88 - це кількість спостережуваних інтервалів часу, а не кількість подій, що спостерігалися загалом, або за інтервал. Середня кількість подій на інтервал протягом вибірки з 88 інтервалів спостереження - лямбда, подана оригінальним плакатом.

— Мерре