Чому верхівка броунівського мосту має розподіл Колмогорова – Смірнова?

Розподіл Колмогорова – Смирнова відомий з тесту Колмогорова – Смірнова . Однак, це також поширення надмости Браунівського мосту.

Оскільки це далеко не очевидно (для мене), я хотів би попросити інтуїтивно пояснити цей збіг. Посилання також вітаються.

$\sqrt{n}\sup_x|F_n-F|=\sup_x|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)|$

де $Z_i(x)=1_{X_i\leq x}-E[1_{X_i\leq x}]$

по CLT у вас $G_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)\rightarrow \mathcal{N}(0,F(x)(1-F(x)))$

це інтуїція ...

броунівський міст має дисперсію t ( 1 - t ) http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridge замінити t на F ( x ) . Це для одного х ...$B(t)$$t(1-t)$ $t$$F(x)$$x$

Вам також потрібно перевірити коваріацію, а отже, ще легко показати (CLT), що для ( ) ( G n ( x 1 ) , … , G n ( x k ) ) → ( B 1 , … , B k ) де ( B 1 , … , B k ) є N ( 0 , Σ ) з$x_1,\dots,x_k$$(G_n(x_1),\dots,G_n(x_k))\rightarrow (B_1,\dots,B_k)$$(B_1,\dots,B_k)$$\mathcal{N}(0,\Sigma)$ , σ i j = min ( F ( x i ) , F ( x j ) ) - F ( x i ) F ( x j ) . $\Sigma=(\sigma_{ij})$$\sigma_{ij}=\min(F(x_i),F(x_j))-F(x_i)F(x_j)$

Важко частина, щоб показати , що розподіл suppremum межі є СУПРЕМУМ розподілу меж ... Щоб зрозуміти , чому це відбувається , вимагає деякої емпіричної теорії процесу, читання книг , таких , як ван дер Ваарт і Welner (нелегко) . Назва теореми - теорема Донкера http://en.wikipedia.org/wiki/Donsker%27s_theorem ...

$n$$f(x) = \frac{1}{n} \sum_i \chi_{(-\infty, X_i]}(x)$

$q$$x=q$

$p$$p=2$$p$