Ненормальні розподіли з нульовим нахилом і нульовим надлишком куртозу?

Переважно теоретичне питання. Чи є приклади ненормальних розподілів, які мають перші чотири моменти, рівні рівних нормальним? Чи могли вони існувати в теорії?

Так, приклади зі спотвореністю та надлишком куртозу, як нульові, побудувати порівняно просто. (Дійсно, приклади (a) - (d) нижче також мають середню середню косисть Пірсона 0)

(а) Наприклад, у цій відповіді наведено приклад, взявши суміш 50-50 гамма-змінної, (яку я називаю $X$ ), та мінус другу, яка має щільність, яка виглядає так:

Очевидно, що результат симетричний і не нормальний. Параметр масштабу тут неважливий, тому ми можемо зробити його 1. Ретельний вибір параметра форми гами дає необхідний куртоз:

1. Дисперсію цієї подвійної гами ( $Y$ ) легко розробити з точки зору гамма-змінної, на основі якої: $\text{Var}(Y)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=\alpha+\alpha^2$ .

2. Четвертий центральний момент змінної $Y$ такий же, як $E(X^4)$ , який для гами ( $\alpha$ ) дорівнює $\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)$

В результаті куртоз дорівнює $\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha^2(\alpha+1)^2}=\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha(\alpha+1)}$ . Це$3$коли$(\alpha+2)(\alpha+3)=3\alpha(\alpha+1)$, що відбувається, коли$\alpha=(\sqrt{13}+1)/2\approx 2.303$.

(б) Ми також могли б створити приклад у вигляді суміші двох уніформ. Нехай $U_1\sim U(-1,1)$ і нехай$U_2\sim U(-a,a)$ , і нехай$M=\frac12 U_1+\frac12 U_2$. Зрозуміло, враховуючи, що$M$симетричний і має кінцевий діапазон, ми повинні мати$E(M)=0$; косисть також буде 0, а центральні моменти та сирі моменти будуть однаковими.

$\text{Var}(M)=E(M^2)=\frac12\text{Var}(U1)+\frac12\text{Var}(U_2)=\frac16[1+a^2]$.

Аналогічно $E(M^4)=\frac{1}{10} (1+a^4)$і тому куртоз дорівнює$\frac{\frac{1}{10} (1+a^4)}{[\frac16 (1+a^2)]^2}=3.6\frac{1+a^4}{(1+a^2)^2}$

Якщо виберемо $a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\approx 3.1463$, тодікуртоздорівнює 3, а щільність виглядає приблизно так:

(c) ось цікавий приклад. Нехай $X_i\stackrel{_\text{iid}}{\sim}\text{Pois}(\lambda)$ , для$i=1,2$ .

Нехай $Y$ - 50-50 суміш $\sqrt{X_1}$ і$-\sqrt{X_2}$

$E(Y)=0$$E(|Y|)$$E(X_1)$

$Var(Y)=E(Y^2)=E(X_1)=\lambda$

за симетрією (і тим фактом, що існує абсолютний 3-й момент) перекос = 0

$E(Y^4) = E(X_1^2) = \lambda+\lambda^2$

$\frac{\lambda+\lambda^2}{\lambda^2}= 1+1/\lambda$

$\lambda=\frac12$

(г) всі мої приклади досі були симетричними, оскільки симетричні відповіді легше створити - але асиметричні рішення також можливі. Ось дискретний приклад.

Як бачите, жоден із цих прикладів не виглядає особливо "нормальним". Було б просто зробити будь-яку кількість дискретних, безперервних чи змішаних змінних з однаковими властивостями. Хоча більшість моїх прикладів були побудовані як суміші, в сумішах немає нічого особливого , крім того, що вони часто є зручним способом зробити розподіл з властивостями так, як вам зручно, трохи схожий на побудову речей з Lego.

Ця відповідь дає деякі додаткові деталі щодо куртозу, які повинні зробити деякі міркування, пов'язані з побудовою інших прикладів, трохи зрозумілішими.

Ви можете зібрати більше моментів подібним чином, хоча для цього потрібно докласти більше зусиль. Однак, оскільки MGF нормального існує, ви не можете зіставити всі цілі моменти нормалі з деяким ненормальним розподілом, оскільки це означало б їх збіг MGF, що означає, що другий розподіл також був нормальним.

Хороші бали заробляє Glen_b. Я хотів би лише додати розгляд функції Дірака Дельта як додаткової сили для млини. Як зазначає Вікіпедія, "DDF - це узагальнена функція, або розподіл, у реальній лінійці чисел, яка скрізь дорівнює нулю, крім нуля, з інтегралом одиниці по всій реальній прямій", з тим наслідком, що всі вищі моменти DDF є нуль.

Пол Дірак застосовує його до квантової механіки у своїй книзі 1931 р. "Принципи квантової механіки", але її джерела датуються Фур'є, Лесбег, Коші та іншими. У DDF також є фізичні аналоги при моделюванні розподілу, наприклад, тріщини кажана, що б'є в бейсбол.