Чи відрізняється відповідність Cox-моделі з прошарком і взаємодією страти-коваріату від встановлення двох моделей Кокса?

У регресійному моделюванні стратегій Гаррелла (друге видання) є розділ (S. 20.1.7), де обговорюються моделі Кокса, включаючи взаємодію між коваріатом, основний вплив якого на виживання ми хочемо оцінити також (вік у прикладі нижче) та коваріат, основний ефект якого ми не хочемо оцінювати (стать у наведеному нижче прикладі).

Конкретно: припустимо, що в популяції (невідома, справжня) небезпека відповідає моделі$h(t)$

$$h(t) = \begin{cases} h_f(t) \exp(\beta_1 \textrm{age}), & \textrm{for female patiens} \\ h_m(t) \exp((\beta_1 + \beta_2) \textrm{age}), & \textrm{for male patiens} \end{cases}$$ коли , h_m невідомі, істинні, не підлягають оцінці базової функції небезпеки і \ beta_1 , \ beta_2 невідомі, справжні параметри, які слід оцінити з даних.$h_f$$h_m$$\beta_1$$\beta_2$

(Цей приклад взято майже буквально з книги.)

Тепер Гаррелл зазначає, що вищевказану ситуацію можна переписати як стратифіковану модель Кокса 1 :

$$h(t) = h_{\textrm{gender}}(t) \exp(\beta_1 \textrm{age} + \beta_2 X)$$ де термін "взаємодії"$X$ дорівнює нулю для жінок, а вік для чоловіків. Це зручно, оскільки це означає, що ми можемо використовувати стандартну техніку для оцінки$\beta_1$ та$\beta_2$ .

Тепер до питання. Припустимо, що двом дослідникам А і В дається одна і та ж вибірка пацієнтів, отриманих з описаної вище популяції. Дослідник A відповідає моделі 1, отримуючи оцінки $\hat{\beta}_1$ , $\hat{\beta}_2$ за справжніми параметрами $\beta_1, \beta_2$ разом з довірчими інтервалами.

Дослідник В застосовує більш наївний підхід до встановлення двох звичайних (тобто необгрунтованих) Cox-моделей: модель 2a: для пацієнтки лише у вибірці і модель 2b: лише для пацієнтів-чоловіків у вибірці. Таким чином, оцінки , справжніх параметрів відповідно, разом з довірчими інтервалами.

$$h(t) = h_f(t)\exp(\gamma_1 \textrm{age})$$ $$h(t) = h_m(t)\exp(\gamma_2 \textrm{age})$$ $\hat{\gamma_1}$$\hat{\gamma_2}$$\beta_1, \beta_1 + \beta_2$

Питання:

• Чи обов'язково ці оцінки однакові (у тому сенсі, що , )? (Нагадаємо, що обидва дослідники дивляться на однакові дані.)$\hat{\beta}_1 = \hat{\gamma}_1$$\hat{\beta}_2 = \hat{\gamma}_2 - \hat{\gamma}_1$
• Чи обов'язково інтервали довіри однакові?
• Чи має сенс говорити, що дослідник А має психологічну перевагу перед дослідником В у випадку, якщо , тому що дослідник А тоді більше підозрює це і перейде до оцінки більш парсимоніальної моделі ?$\beta_2 = 0$$h(t) = h_{\textrm{gender}}(t)\exp(\beta_1 \textrm{age})$

У моделях, де кожен параметр повинен бути оцінений (як звичайні найменші квадрати), можливо створити ситуацію, коли дві окремі моделі мають однакові оцінки однієї з терміном взаємодії. Наприклад, ми могли б мати: , узагальнений за: , щоб ви могли безпосередньо оцінюйте різницю статі як в перехопленні, так і в нахилі. Насправді: . У такому випадку я погоджуюся з вами, що унікальна модель дозволила б мати негайне уявлення про гендерну різницю (задану параметрами взаємодії,$Y_M=\alpha_M+\beta_M*age$$Y_F=\alpha_F+\beta_F*age$$Y=\lambda+\lambda_F*F+\gamma*age+\gamma_F*F*age$$\alpha_M=\lambda, \beta_M=\gamma, \alpha_F-\alpha_M=\lambda_F,\beta_F-\beta_M=\gamma_F$$\lambda_F$, оскільки різниця нахилів має більш чітке тлумачення, і ваше питання стосується цього). Однак із моделлю Кокса справи йдуть інакше. Перш за все, якщо ми не включимо гендер в регресію, може бути причина, тобто вона не відповідає пропорційному припущенню про небезпеку. Крім того, якщо ми будуємо унікальну модель з гендерною ознакою як термін взаємодії, ми беремо на себе загальну базову функцію небезпеки (якщо я неправильно зрозумів значення ), тоді як дві окремі моделі підхід передбачає дві окремі основні функції небезпеки, тому різні моделі мають на увазі. $h_{\textrm{gender}}(t)$

Дивіться, наприклад, Розділ "Аналіз виживання" від Kleinbaum and Klein, 2012, частина серії "Статистика з біології та здоров'я".