Чи означає опуклі впорядкування правильне хвостове домінування?

10

З огляду на два безперервні розподіли $\mathcal{F}_X$ і $\mathcal{F}_Y$ , мені незрозуміло, чи є відношення домінування опуклої між ними:

(0) F_{X} <_{c} F_{Y}

$(0)\quad \mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

Має на увазі, що

(1) F_{Y}^{- 1} (q) \leq F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1]

$(1)\quad F_Y^{-1}(q) \leq F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1]$

має місце, або якщо потрібна ще якась гіпотеза, якщо має бути дотримано? $(1)$

Визначення домінування опуклості.

Якщо два безперервні розподіли і задовольняють: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

(2) F_{Y}^{- 1} F_{X} (x) is convex in x

$(2)\quad F_Y^{-1}F_X(x)\text{ is convex in } x$

[0] потім пишемо:

F_{X} <_{c} F_{Y}

$F_X <_c F_Y$

і сказати , що має більше прав , ніж перекіс . Оскільки і - розподіли ймовірностей, то з також випливає, що похідна є монотонно не спадаючою та негативною [1], що опуклий [2], що і $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $F_X$ $F_Y$ $(2)$ $F_Y^{-1}F_X(x)$ $F_Y^{-1}F_X(x)-x$ $F_X$ $F_{aY+b}$ перетинають один одного щонайбільше двічі [2] і це [2], для : $\forall a>0,b\in\mathbb{R}$ $\forall p\in[0,0.5]$

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} \geq \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)} .

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}\geq\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}.$

[0] Zwet, WR van (1964). Опуклі перетворення випадкової змінної. (1964). Амстердам: Математичний центр.
[1] Оя, Х. (1981). За місцем розташування, масштабі, косості та куртозу універсальних розподілів. Скандинавський журнал статистики. Вип. 8, стор 154--168
[2] Р. А. Гріневельд і Г. Міден. (1984). Вимірювання косості та куртозу. Статистик. 33: 391-399.

probability probability-inequalities distributions

— user603
джерело

1

Я припускаю, що в останній нерівності є деяка помилка - якщо вона дорівнює

, симетрія означатиме рівність

\forall p \in [0, 1]

$\forall p \in [0,1]$

, який в свою чергу буде симетричних відносно

проти

.

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} = \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)}

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}=\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}$

X

$X$

Y

$Y$

— Juho Kokkala

1

Зауважимо, що існує

після рівняння (6) з [2].

α \in (0, \frac{1}{2})

$\alpha \in (0,\frac{1}{2})$

— Juho Kokkala

Ви праві. Моє ліжко. Я зараз це виправляю.

— user603

2

Взагалі це неправда. Розглянемо для прикладу і $\mu=\frac{3}{8} \delta_{-1}(x)+\frac{1}{4}\delta_0(x)+\frac38 \delta_1(x)$ . $\nu=\frac12\delta_{-\frac12}(x)+\frac12\delta_{\frac12}(x)$

Можна відразу побачити, що . Однак $\nu\leq_{cx}\mu$ . Це, однакправдащо з деякого о,для всіх . $F_\mu^{-1}(0.6)=0<\frac12 =F_\nu^{-1}(0.6)$ $\bar{q}$ $F_\mu^{-1}(q)<F_\nu^{-1}(q)$ $q>\bar q$

— користувач123456
джерело

Чи можете ви додайте пояснення до цієї відповіді? Це трохи коротше для наших стандартів!

— kjetil b halvorsen

4

Гаразд, я думаю, що це можна вирішити так (коментарі вітаються):

Позначаючи і розподіли і і нагадуючи про це $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$ $X$ $Y$

F_{X} <_{c} F_{Y}

$\mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

випливає (Oja, 1981), що таким, що: $\exists z^*\in\mathbb{R}$

F_{Y} (z) < F_{X} (z), \forall z > z^{*} .

$F_Y(z)<F_X(z),\forall z>z^*.$

Оскільки зсув не впливає на опуклу впорядкованість, ми можемо без втрати спільності вважати, що зміщений так, що: $X$

z^{*} ⩽ min (F_{X}^{- 1} (0.5), F_{Y}^{- 1} (0.5))

$z^*\leqslant\min(F^{-1}_X(0.5),F^{-1}_Y(0.5))$

так що

F_{Y}^{- 1} (q) ⩽ F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1] .

$F_Y^{-1}(q) \leqslant F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1].$

Отже, здається, що так , опуклий впорядкованість передбачає правильне хвостове домінування над (або якщо бути точним деякою версією $\mathcal{F}_X<_c \mathcal{F}_Y$ $F_Y(y)$ $F_X(x)$ з ) $F_{X+b}(x),\;b\in\mathbb{R}$ $F_X(x)$

— user603
джерело