Джеффріс до нормального розподілу з невідомим середнім значенням та дисперсією

Я читаю попередні розподіли, і я раніше підраховував Джеффрі для вибірки нормально розподілених випадкових величин з невідомою середньою та невідомою дисперсією. Згідно з моїми підрахунками, для Jeffreys раніше було застосовано: Ось, інформаційна матриця Фішера.

p (μ, σ^{2}) = \sqrt{d e t (I)} = \sqrt{d e t (\begin{matrix} 1 / σ^{2} & 0 \\ 0 & 1 / (2 σ^{4}) \end{matrix})} = \sqrt{\frac{1}{2 σ^{6}}} \propto \frac{1}{σ^{3}} .

$p(\mu,\sigma^2)=\sqrt{det(I)}=\sqrt{det\begin{pmatrix}1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}}=\sqrt{\frac{1}{2\sigma^6}}\propto\frac{1}{\sigma^3}.$

I

$I$

Однак я також читав публікації та документи, в яких говориться

$p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^2$ див. Розділ 2.2 у Касса та Вассермана (1996) .
$p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^4$ див. сторінку 25 у Ян та Бергер (1998)

як Джеффріс раніше для випадку нормального розподілу з незвіданою середньою та дисперсією. Що таке "фактичний" Джеффріс раніше?

— Нусіг
джерело

Відповіді:

Я думаю, що розбіжність пояснюється тим, чи вважають автори щільність над чи щільність над . Підтримуючи цю інтерпретацію, саме те, що пишуть Касс і Вассерман - тоді як Ян і Бергер пишуть $\sigma$ $\sigma^2$

π (μ, σ) = 1 / σ^{2},

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma^2,$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{4} .

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4.$

— А. Донда
джерело

Дякую, я це не помітив. Однак це все ще не пояснює розбіжність між та .

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ^{4}

$1/\sigma^4$

— Нуссіг

Насправді мати пріоритет - це те саме, що мати попереднє , завдяки властивість репараметризації Джеффрі до: з матрицею , тобто .

π (μ, σ) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma)=1/\sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2)=1/\sigma^3$

π (μ, σ) = π (μ, σ^{2}) d e t (J_{f}) \propto \frac{1}{σ^{3}} 2 σ \propto \frac{1}{σ^{2}}

$\pi(\mu, \sigma)=\pi(\mu, \sigma^2)det(J_f)\propto \frac{1}{\sigma^3}2\sigma \propto \frac{1}{\sigma^2}$

J_{f}

$J_f$

f : (μ, σ) \to (μ, σ^{2})

$f: (\mu, \sigma)\to (\mu, \sigma^2)$

J_{f} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 σ \end{matrix})

$J_f=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\sigma\end{pmatrix}$

— Нуссіг

@Nussig, я перевірив обчислення, і я думаю, ти маєш рацію до . Ви також маєте рацію, що репараметризація становить лише коефіцієнт . Враховуючи це, ваш розрахунок відповідає Кассу та Вассерману, і я можу лише здогадуватися, що Ян і Бергер допустили помилку. Це має сенс також, оскільки перший - це регулярний рецензований журнальний журнал, а другий - проект свого роду збірок формул.

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ

$1/\sigma$

— А.Донда

Касс і Вассерман також відзначають, що Джеффріс ввів модифіковане правило, згідно з яким параметри місця розташування та масштабу слід розглядати окремо. Це призводить до і тому , але все ще не до .

π (μ, σ) = 1 / σ

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{4}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4$

— А.Донда

Джим Бергер як і раніше є активним вченим, тому, щоб бути впевненим, ви можете перевірити безпосередньо з ним: stat.duke.edu/~berger

— А. Donda

Існуючі відповіді вже добре відповідають на початкове запитання. Як фізик, я просто хотів би додати до цієї дискусії міркування про розмірність. Якщо ви вважаєте, що та описують розподіл випадкової величини в реальному 1D просторі та вимірюється в метрах, вони мають розміри та . Щоб мати фізично правильний поперед, потрібно, щоб він мав правильні розміри, тобто єдиними повноваженнями фізично можливими в непараметричному пріоритеті, є: і . $\mu$ $\sigma^2$ $[\mu] \sim m$ $[\sigma^2] \sim m^2$ $\sigma$

π (μ, σ) \sim 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma) \sim 1/\sigma^{2}$

π (μ, σ^{2}) \sim 1 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2) \sim 1/\sigma^{3}$

— Dr_Zaszuś
джерело

Чому в другому виразі є ?

σ^{3}

$\sigma^{3}$

— cerebrou

$\frac{1}{\sigma^3}$ - пріоритет Джефріса. Однак на практиці досить часто використовується, оскільки це призводить до відносно простої задньої частини, "інтуїція" цього попереднього полягає в тому, що вона відповідає площині до . $\frac{1}{\sigma^2}$ $\log(\sigma)$

— Жорн Біклер
джерело

Дякую, @Noshgul. Я отримую точку про квартиру до . Однак ви могли б детальніше зупинитися на "відносно простому задньому"? Якщо я не помиляюся, попередні результати Джеффрі в нормально-зворотній- задній, тобто Попередня повинна також призвести до нормально-зворотного- заднього, також з різними параметрами.

\log (σ)

$\log(\sigma)$

χ^{2}

$\chi^2$

(μ, σ^{2}) | D \sim N χ^{- 1} (\bar{X}, n, n, \frac{1}{n} \sum (X_{i} - \bar{X})^{2}) .

$(\mu,\sigma^2)|D \sim \mathcal{N}\chi^{-1}\left(\overline{X}, n,n, \frac{1}{n}\sum(X_i-\overline{X})^2\right).$

1 / σ^{2}

$1/\sigma^2$

χ^{2}

$\chi^2$

— Нуссіг

О, так, це призводить до нормально-зворотного- . Мені просто природніше, що межа є оберненою з n-1 замість n ступенів свободи. Так чи інакше, я, безумовно, не хотів натякати, що інші пріори призведуть до набридливих розподілів. Якщо чесно, я не знав напам'ять перед Джефрі, а також не думав багато про це, коли писав повідомлення.

χ^{2} (\bar{X}, n, n - 1, s^{2})

$\chi^2(\bar{X},n,n-1,s^2)$

σ^{2}

$\sigma^2$

χ^{2}

$\chi^2$

— Jorne Biccler