Оцінка багаторівневих моделей логістичної регресії

Наступна багаторівнева логістична модель з однією пояснювальною змінною на рівні 1 (індивідуальний рівень) та однією пояснювальною змінною на рівні 2 (рівень групи):

де, залишки на рівні групи і як передбачається, мають багатоваріантний нормальний розподіл з нулем очікування. Дисперсія залишкових помилок визначається як , а дисперсія залишкових помилок визначається як .$u_{0j}$$u_{1j}$$u_{0j}$$\sigma^2_0$$u_{1j}$$\sigma^2_1$

Я хочу оцінити параметр моделі і мені подобається використовувати Rкоманду glmmPQL.

Підставляючи рівняння (2) і (3) в рівняння (1), виходить,

У кожній групі є 30 груп $(j=1,...,30)$ і 5 індивідуальних.

R код:

   #Simulating data from multilevel logistic distribution 
   library(mvtnorm)
   set.seed(1234)

   J <- 30             ## number of groups
   n_j <- rep(5,J)     ## number of individuals in jth group
   N <- sum(n_j)

   g_00 <- -1
   g_01 <- 0.3
   g_10 <- 0.3
   g_11 <- 0.3

   s2_0 <- 0.13  ##variance corresponding to specific ICC
   s2_1 <- 1     ##variance standardized to 1
   s01  <- 0     ##covariance assumed zero

   z <- rnorm(J)
   x <- rnorm(N)

   #Generate (u_0j,u_1j) from a bivariate normal .
   mu <- c(0,0)
  sig <- matrix(c(s2_0,s01,s01,s2_1),ncol=2)
  u <- rmvnorm(J,mean=mu,sigma=sig,method="chol")

  pi_0 <- g_00 +g_01*z + as.vector(u[,1])
  pi_1 <- g_10 + g_11*z + as.vector(u[,2])
  eta <- rep(pi_0,n_j)+rep(pi_1,n_j)*x
  p <- exp(eta)/(1+exp(eta))

  y <- rbinom(N,1,p)

Тепер оцінка параметра.

  #### estimating parameters 
  library(MASS)
  library(nlme)

  sim_data_mat <- matrix(c(y,x,rep(z,n_j),rep(1:30,n_j)),ncol=4)
  sim_data <- data.frame(sim_data_mat)
  colnames(sim_data) <- c("Y","X","Z","cluster")
  summary(glmmPQL(Y~X*Z,random=~1|cluster,family=binomial,data=sim_data,,niter=200))

ВИХІД:

      iteration 1
      Linear mixed-effects model fit by maximum likelihood
      Data: sim_data 

      Random effects:
      Formula: ~1 | cluster
              (Intercept)  Residual
      StdDev: 0.0001541031 0.9982503

      Variance function:
      Structure: fixed weights
      Formula: ~invwt 
      Fixed effects: Y ~ X * Z 
                      Value Std.Error  DF   t-value p-value
      (Intercept) -0.8968692 0.2018882 118 -4.442404  0.0000
      X            0.5803201 0.2216070 118  2.618691  0.0100
      Z            0.2535626 0.2258860  28  1.122525  0.2712
      X:Z          0.3375088 0.2691334 118  1.254057  0.2123
      Correlation: 
           (Intr) X      Z     
      X   -0.072              
      Z    0.315  0.157       
      X:Z  0.095  0.489  0.269

      Number of Observations: 150
      Number of Groups: 30 

• Чому потрібна лише ітерація, тоді як я згадував, щоб аргументувати ітерацій всередині функції ?$1$$200$glmmPQLniter=200

• Також p-значення змінної на рівні групи та взаємодії між рівнем показує, що вони несуттєві. Але чому в цій статті вони зберігають змінну на рівні групи та взаємодію між рівнем для подальшого аналізу?$(Z)$$(X:Z)$$(Z)$$(X:Z)$

• Також як DFобчислюються ступені свободи ?

• Він не співпадає з відносним упередженням різних оцінок таблиці . Я спробував обчислити відносний ухил як:

   #Estimated Fixed Effect parameters :
  
   hat_g_00 <- -0.8968692 #overall intercept
   hat_g_10 <- 0.5803201  # X
   hat_g_01 <-0.2535626   # Z
   hat_g_11 <-0.3375088   #X*Z
  
  fixed <-c(g_00,g_10,g_01,g_11)
  hat_fixed <-c(hat_g_00,hat_g_10,hat_g_01,hat_g_11)
  
  
  #Estimated Random Effect parameters :
  
  hat_s_0 <-0.0001541031  ##Estimated Standard deviation of random intercept 
  hat_s_1 <-  0.9982503 
  
  std  <- c(sqrt(0.13),1) 
  hat_std  <- c(0.0001541031,0.9982503) 
  
  ##Relative bias of Fixed Effect :
  rel_bias_fixed <- ((hat_fixed-fixed)/fixed)*100
  [1] -10.31308  93.44003 -15.47913  12.50293
  
  ##Relative bias of Random Effect :
  rel_bias_Random <- ((hat_std-std)/std)*100
  [1] -99.95726  -0.17497
  

• Чому відносна упередженість не відповідає таблиці?

Тут, мабуть, занадто багато питань. Деякі коментарі:

• ви можете розглянути можливість використання glmerз lme4пакету ( glmer(Y~X*Z+(1|cluster),family=binomial,data=sim_data)); він використовує наближення Лапласа або квадратуру Гаусса-Ерміта, які, як правило, більш точні, ніж PQL (хоча відповіді в цьому випадку дуже схожі).
• niterАргумент задає максимальне число ітерацій; була потрібна лише одна ітерація
• Я не впевнений, яке ваше питання щодо терміна взаємодії. Чи варто вам відмовлятися від несуттєвих термінів взаємодії чи ні, це є чимось глибоким банком, і залежить як від вашої статистичної філософії, так і від цілей вашого аналізу (наприклад, дивіться це запитання )
• ступінь свободи в знаменнику обчислюється за простим "внутрішнім - зовнішнім" евристикою, простим "внутрішнім - зовнішнім" правилом, описаним на стор. 91 Pinheiro and Bates (2000), яке доступне в Google Books ... це, як правило, розумне наближення, але обчислення ступенів свободи є складним, особливо для ГЛМ
• якщо ви намагаєтесь повторити "Модельне дослідження розміру вибірки для багаторівневих логістичних регресійних моделей" Moineddin et al. (DOI: 10.1186 / 1471-2288-7-34), вам потрібно запустити велику кількість моделювання та обчислити середні показники, а не просто порівнювати один пробіг. Крім того, вам, мабуть, слід спробувати наблизитися до їх методів (повертаючись до моєї першої точки, вони заявляють, що вони використовують SAS PROC NLMIXED з адаптивною квадратурою Гаусса-Ерміта, так що вам буде краще, наприклад glmer(...,nAGQ=10), вона все одно не буде точно збігаються, але, мабуть, буде ближче ніж glmmPQL.