Що ми можемо сказати про значення населення в розмірі вибірки 1?

Я задаюся питанням, що ми можемо сказати, що якщо що - небудь, про повну загальну середню населення, , коли все у мене є один вимір, (розмір вибірки 1). Очевидно, ми б хотіли мати більше вимірювань, але ми не можемо їх отримати.y $\mu$$y_1$

Мені здається, оскільки значення вибірки тривіально дорівнює , то . Однак, коли розмір вибірки дорівнює 1, дисперсія вибірки не визначена, і, таким чином, наша впевненість у використанні в якості оцінювача також не визначена, правда? Чи може якийсь спосіб обмежити нашу оцінку ? y1E[ ˉ y ]=E[y1]=μ ˉ y µ$\bar{y}$$y_1$$E[\bar{y}]=E[y_1]=\mu$$\bar{y}$$\mu$$\mu$

Ось нова стаття з цього питання для справи Пуассона, яка має приємний педагогічний підхід:

Андерссон. Per Gösta (2015). Класовий підхід до побудови приблизного інтервалу довіри середнього Пуассона за допомогою одного спостереження. Американський статистик , 69 (3), 160-164, DOI: 10.1080 / 00031305.2015.1056830 .

Якщо популяція, як відомо, нормальна, довірчий інтервал 95% на основі одного спостереження задаєтьсях ± 9,68 | х $x$

Про це йдеться у статті "Ефективний інтервал довіри для середніх зразків розміру один і другий" від Wall, Boen and Tweedie, The American Statistician , May 2001, Vol. 55, №2 . ( pdf )

Звичайно, є. Використовуйте байєсівську парадигму. Швидше за все , у вас є принаймні деяке уявлення про те , що могло бути - наприклад, що він фізично не може бути негативним, або що це , очевидно , не може бути більше , ніж 100 (можливо , ви вимірюєте висоту місцевих середніх шкіл членів вашої футбольної команди в ногах). Поставте заздалегідь це, оновіть його своїм одиноким спостереженням, і у вас є чудова задня частина.$\mu$

Невелика імітаційна вправа, щоб проілюструвати, чи працює відповідь @soakley:

# Set the number of trials, M
M=10^6
# Set the true mean for each trial
mu=rep(0,M)
# Set the true standard deviation for each trial
sd=rep(1,M)
# Set counter to zero
count=0
for(i in 1:M){
 # Control the random number generation so that the experiment is replicable 
 set.seed(i)
 # Generate one draw of a normal random variable with a given mean and standard deviation
 x=rnorm(n=1,mean=mu[i],sd=sd[i])
 # Estimate the lower confidence bound for the population mean
 lower=x-9.68*abs(x)
 # Estimate the upper confidence bound for the population mean
 upper=x+9.68*abs(x)
 # If the true mean is within the confidence interval, count it in
 if( (lower<mu[i]) && (mu[i]<upper) ) count=count+1
}
# Obtain the percentage of cases when the true mean is within the confidence interval
count_pct=count/M
# Print the result
print(count_pct)
[1] 1

З одного мільйона випадкових випробувань інтервал довіри включає справжню середню мільйон разів, тобто завжди . Цього не повинно статися, якщо довірчий інтервал склав 95% довірчий інтервал.

Отже, здається, формула не працює ... Або я зробив помилку кодування?

Редагувати: той самий емпіричний результат має місце при використанні ; однак, це для - таким чином, досить близький до 95% довірчого інтервалу.0.950097 ≈ 0.95 ( μ , σ ) = ( 1000 , 1000 $(\mu, \sigma)=(1000,1)$
$0.950097 \approx 0.95$$(\mu, \sigma)=(1000,1000)$

Див. Edelman, D (1990) "Інтервал довіри для центру невідомого одномовного розподілу на основі вибірки розміру один" Американський статистик, т. 44, № 4. Стаття охоплює випадки звичайного та непараметричного.