Вимірювання індивідуальної ефективності гравців у двох гравцях на командні види спорту

19

У мене є таблиця з деякими оцінками команди. Перша команда на 10 очок виграє. У кожній команді є 2 гравці. Гравці весь час грають з різними товаришами по команді, хоча їх не обирають ідеально випадково. Індивідуальні бали не зберігаються.

Таким чином, у нас Білл і Боб побили Енді та Еліс 10-4. Джейк і Білл побили Джо та Джона 10-8 ...

Чи можливо скласти якийсь рейтинг для окремих гравців, виходячи з усіх доступних даних матчу. В основному, щоб побачити, наскільки кожен гравець вносить внесок у кожну гру за очками чи відносно інших гравців?

ranking games bradley-terry-model

— Білл Вотерсон
джерело

1

Якщо що-небудь із цього взагалі корисно, і вам буде цікаво побачити подальший розвиток простої адаптації моделі "незалежного оцінювання" до вашого сценарію, дайте мені знати, і я спробую написати це (сподіваюся, ще трохи стисло) як окрема відповідь. Ура.

— кардинал

13

Нижче пара дуже простих моделей. Вони обидва мають дефіцит хоча б одним способом, але, можливо, вони забезпечать щось на основі. Друга модель насправді не відповідає (цілком) сценарієм роботи ОП (див. Зауваження нижче), але я залишаю її, якщо вона певним чином допомагає.

Модель 1 : Варіант моделі Бредлі – Террі

Припустимо, нас насамперед цікавить передбачити, чи одна команда переможе іншу, грунтуючись на гравцях кожної команди. Ми можемо просто записати, чи команда 1 з гравцями перемагає команду 2 з гравцями за кожну гру, ігноруючи остаточний рахунок. Звичайно, це викидає деяку інформацію, але в багатьох випадках це все ж надає багато інформації. $(i,j)$ $(k,\ell)$

Тоді модель

l o g i t (P (Team 1 beats Team 2)) = α_{i} + α_{j} - α_{k} - α_{ℓ} .

$\mathrm{logit}(\mathbb P(\text{Team 1 beats Team 2})) = \alpha_i + \alpha_j - \alpha_k - \alpha_\ell \> .$

Тобто у нас є параметр «спорідненості» для кожного гравця, який впливає на те, наскільки цей гравець покращує шанси на перемогу своєї команди. Визначте "силу" гравця за допомогою . Потім ця модель стверджує, що $s_i = e^{\alpha_i}$

P (Team 1 beats Team 2) = \frac{s_{i} s_{j}}{s_{i} s_{j} + s_{k} s_{ℓ}} .

$\mathbb P(\text{Team 1 beats Team 2}) = \frac{s_i s_j}{s_i s_j + s_k s_\ell} \>.$

Тут є дуже приємна симетрія в тому, що не має значення, як кодується відповідь, доки вона не відповідає прогнозам. Тобто, у нас також є

л о г i т (П (Команда 2 перемагає команду 1)) = α_{к} + α_{ℓ} - α_{i} - α_{j} .

$\mathrm{logit}(\mathbb P(\text{Team 2 beats Team 1})) = \alpha_k + \alpha_\ell - \alpha_i - \alpha_j \> .$

Це може бути легко підходити як логістичний регрес із прогнозами, які є індикаторами (по одному для кожного гравця), які приймають значення якщо гравець є в Команді 1 для відповідної гри, якщо вона в команді 2 та якщо вона не брати участь у цій грі. $+1$ $i$ $-1$ $0$

З цього ми також маємо природний рейтинг для гравців. Чим більше (або ), тим більший гравець покращує шанс своєї команди на перемогу. Отже, ми можемо просто класифікувати гравців відповідно до їх розрахункових коефіцієнтів. (Зверніть увагу, що параметри спорідненості ідентифікуються лише до загального зміщення. Тому типовим є виправлення щоб зробити модель ідентифікованою.) $\alpha$ $s$ $\alpha_1 = 0$

Модель 2 : Незалежна оцінка

NB : Перечитавши питання ОП, очевидно, що наведені нижче моделі є неадекватними для його налаштування. Зокрема, ОП зацікавлена в грі, яка закінчується після того, як одна чи інша команда набирає певну кількість очок. Наведені нижче моделі більше підходять для ігор, які мають фіксовану тривалість у часі. Можуть бути внесені зміни, щоб вони краще вписувалися в рамки ОП, але для розробки потрібна окрема відповідь.

Тепер ми хочемо відстежувати показники. Припустимо, розумне наближення до того, що кожна команда набирає очки незалежно один від одного, кількість очок, набраних у будь-якому інтервалі, незалежно від будь-якого неперервного інтервалу. Тоді кількість балів, яку набирає кожна команда, можна змоделювати як випадкову змінну Пуассона.

Таким чином, ми можемо встановити Poisson GLM таким чином, що оцінка деякої команди, що складається з гравців і у певній грі, є $i$ $j$

журнал (мк) = γ_{i} + γ_{j}

$\log(\mu) = \gamma_i + \gamma_j$

Зауважте, що ця модель ігнорує фактичні поєдинки між командами, зосереджуючись виключно на забиванні.

Це дійсно має цікавий зв'язок з модифікованою моделлю Бредлі-Террі. Визначте та припустимо, що грається гра "раптової смерті", в якій перемагає перша команда, яка забиває. Якщо в команді 1 є гравці а в команді 2 є гравці , то Таким чином, середня швидкість забивання гравців еквівалентна формулі параметра «сила» моделі 1. $\sigma_i = e^{\gamma_i}$ $(i,j)$ $(k,\ell)$

П (У раптовій смерті команда 1 перемагає команду 2) = \frac{σ_{i} σ_{j}}{σ_{i} σ_{j} + σ_{к} σ_{ℓ}} .

$\mathbb P(\text{Team 1 beats Team 2 in sudden death}) = \frac{\sigma_i \sigma_j}{\sigma_i \sigma_j + \sigma_k \sigma_\ell} \>.$

Ми можемо розглянути можливість зробити цю модель більш складною, маючи спорідненість "злочин" та "захист" спорідненість для кожного гравця, таким чином, якщо команда 1 з грає в команду 2 з , тоді і $\rho_i$ $\delta_i$ $(i,j)$ $(k,\ell)$

журнал ({мк}_{1}) = ρ_{i} + ρ_{j} - δ_{к} - δ_{ℓ}

$\log(\mu_1) = \rho_i + \rho_j - \delta_k - \delta_{\ell}$

журнал ({мк}_{2}) = ρ_{к} + ρ_{ℓ} - δ_{i} - δ_{j}

$\log(\mu_2) = \rho_k + \rho_{\ell} - \delta_i - \delta_j$

Зарахування балів досі не залежить від цієї моделі, але тепер між гравцями кожної команди існує взаємодія, яка впливає на рахунок. Гравці також можуть бути класифіковані відповідно до їх оцінок коефіцієнта спорідненості.

Модель 2 (та її варіанти) дозволяють передбачити і підсумковий результат.

Розширення : Одним корисним способом розширення обох моделей є включення замовлення, де позитивні показники відповідають команді "додому", а негативні - "гостям" команди. Додавання в перехоплюючий термін до моделей може потім трактуватися як "перевага домашнього поля". Інші розширення можуть включати в себе включення шансів зв’язків у Моделі 1 (це фактично вже є можливістю в Моделі 2).

Побічна примітка : Принаймні один з комп'ютеризованих опитувань ( Пітер Вулф ), який використовується для серії чемпіонатів з чаш в американському футбольному коледжі, використовує (стандартну) модель Бредлі – Террі для складання рейтингу.

— кардинальний
джерело

7

Алгоритм TrueSkill Microsoft , який використовується для ранжування гравців на XBox Live, може працювати з командними матчами, але не передбачає переваги. Це все ще може бути корисним для вас.

— Мартін О'Лірі
джерело

1

Так.

Ви можете переглядати рекорди виграшів / програшів кожного гравця та різницю балів. Я усвідомлюю, що це проста відповідь, але ця статистика все-таки мала б сенс.

— Адам
джерело

Я хочу чогось більш складного, ніж це. Здається, що в середньому гравець вносить X кількість очок у гру. Мені хотілося знати, чи можу я якось зрозуміти це чи грубе наближення.

— Білл Уотерсон

Я хотів би розглянути, як Джефф Сагарін робить свої рейтинги сили для футбольного коледжу та інших видів спорту. Я здогадуюсь, він охороняє свою формулу, але я думаю, що він це зробив, будучи студентом магістра в MIT. Сагарін враховує те, наскільки ти перемагаєш опонентів, наскільки хороші противники та сила розкладу (яка може бути такою ж, як "наскільки хороші твої опоненти"). Я думаю, що співрозмовник на ім'я Денні Шерідан має подібну систему. Удачі.

— Адам

1

(Я хотів би додати це як коментар до попередньої відповіді, але моєї репутації поки що недостатньо)

Мартін О'Лірі зв'язав алгоритм TrueSkill , і це хороший варіант. Якщо ви зацікавлені у використанні (більше, ніж у розробці), спробуйте спробувати ранжирувати нашу систему ранжирування. Як і TrueSkill, він може керувати двома фракціями з більше ніж одним гравцем (2-проти-2 футбольний м'яч, 2-проти-2 настільний теніс, баскетбол 3-на-3 та 5-на-5 і більше). Деякі помітні відмінності, серед інших, полягають у тому, що рангад дозволяє будувати більш структуровані фракції (1-проти-1, фракція проти фракції, багатокористувацькі, багатофакторні, кооперативні ігри, асиметричні фракції та інше), і це безкоштовно використовувати.

Ось порівняння між найбільш відомими системами ранжирування.

— Томашо Нері
джерело