Чому добуток коефіцієнтів регресії двовимірної лінії

11

Існує модель регресії, де з і , що має коефіцієнт кореляції . $Y = a + bX$ $a = 1.6$ $b=0.4$ $r = 0.60302$

Якщо і потім переключаються навколо, і рівняння стає де і , воно також має значення . $X$ $Y$ $X = c + dY$ $c=0.4545$ $d=0.9091$ $r$ $0.60302$

Я сподіваюся, що хтось може пояснити, чому також . $(d\times b)^{0.5}$ $0.60302$

correlation regression-coefficients

— Майк
джерело

17

і $b = r \; \text{SD}_y / \text{SD}_x$ , тому . $d = r \; \text{SD}_x / \text{SD}_y$ $b\times d = r^2$

Багато підручників зі статистики стосуються цього; Мені подобається Freedman та ін., Статистика . Дивіться також тут і цю статтю у Вікіпедії .

— Карл
джерело

10

Погляньте на тринадцять способів поглянути на коефіцієнт кореляції - і особливо способи 3, 4, 5 будуть для вас найбільш цікавими.

Rodgers, JL, & Nicewander, WA (1988). Тринадцять способів подивитися на коефіцієнт кореляції . Американський статистик, 42, 1 , с. 59-66.

— Цікавий
джерело

2

Це, мабуть, мав бути коментарем. Зауважте, що посилання втратило силу. Я оновив посилання та надав повне цитування. Чи можете ви розробити або надати якусь додаткову інформацію, щоб вона все-таки була корисною, навіть якщо посилання знову відірветься?

— gung - Відновити Моніку

2

Стаття про Rodgers & Nicewander зведена на нашому сайті за адресою stats.stackexchange.com/q/70969/22228 .

— whuber

3

$\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}$ $\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}$ $\DeclareMathOperator{\SD}{SD}$ $\DeclareMathOperator{\Var}{Var}$ $\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}$ $\DeclareMathOperator{\nsum}{\sum_{i=1}^{n}}$

Нагадаємо, що багато вступних текстів визначають

S_{x y} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})

$S_{xy} = \nsum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)$

$y$ $x$ $S_{xx} = \nsum (x_i - \bar x)^2$ $S_{yy} = \nsum (y_i - \bar y)^2$

$r$ $y$ $x$ $b$ $x$ $y$ $d$

\begin{aligned} (1) & r & = \frac{S_{x y}}{\sqrt{S_{x x} S_{y y}}} \\ (2) & {\hat{β}}_{y on x} & = \frac{S_{x y}}{S_{x x}} \\ (3) & {\hat{β}}_{x on y} & = \frac{S_{x y}}{S_{y y}} \end{aligned}

$\begin{align} r &= \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} \tag{1} \\ \hat \beta_{y\text{ on }x} &= \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \tag{2} \\ \hat \beta_{x\text{ on }y} &= \frac{S_{xy}}{S_{yy}} \tag{3} \end{align}$

$(2)$ $(3)$ $(1)$

{\hat{β}}_{y on x} \cdot {\hat{β}}_{x on y} = \frac{S_{x y}^{2}}{S_{x x} S_{y y}} = r^{2}

$\hat \beta_{y\text{ on }x} \cdot \hat \beta_{x\text{ on }y} = \frac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}} = r^2$

$(1)$ $(2)$ $(3)$ $n$ $(n-1)$ $(1)$

\begin{aligned} (4) & r & = \hat{Corr} (X, Y) = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{SD (X)} \hat{SD (Y)}} \\ (5) & {\hat{β}}_{y on x} & = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{Var (X)}} \\ (6) & {\hat{β}}_{x on y} & = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{Var (Y)}} \end{aligned}

$\begin{align} r &= \widehat \Corr(X,Y) = \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\SD(X)}\widehat{\SD(Y)}} \tag{4} \\ \hat \beta_{y\text{ on }x} &= \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\Var(X)}} \tag{5} \\ \hat \beta_{x\text{ on }y} &= \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\Var(Y)}} \tag{6} \end{align}$

$(5)$ $(6)$

{\hat{β}}_{y on x} {\hat{β}}_{x on y} = \frac{\hat{Cov} (X, Y)^{2}}{\hat{Var (X)} \hat{Var (Y)}} = {(\frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{SD (X)} \hat{SD (Y)}})}^{2} = r^{2}

$\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y} = \frac{\widehat \Cov(X,Y)^2}{\widehat{\Var(X)}\widehat{\Var(Y)}} = \left( \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\SD(X)}\widehat{\SD(Y)}} \right)^2 = r^2$

$(4)$

\begin{matrix} (7) & \hat{Cov} (X, Y) = r \cdot \hat{SD (X)} \hat{SD (Y)} \end{matrix}

$\widehat \Cov(X,Y) = r\cdot \widehat{\SD(X)} \widehat{\SD(Y)} \tag{7}$

$(7)$ $(5)$ $(6)$ $\hat \beta_{y\text{ on }x} = r \frac{\widehat \SD(y)}{\widehat \SD(x)}$ $\hat \beta_{x\text{ on }y} = r \frac{\widehat \SD(x)}{\widehat \SD(y)}$ $r^2$

$r = \sqrt{bd} =\sqrt{\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y}}$

$y$ $x$ $x$ $y$

r = sgn ({\hat{β}}_{y on x}) \sqrt{{\hat{β}}_{y on x} {\hat{β}}_{x on y}}

$r = \sgn(\hat \beta_{y\text{ on }x}) \sqrt{\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y}}$

$\sgn$ $+1$ $-1$

— Срібна рибка
джерело

1

Можливо, ця моя відповідь буде цікавою, хоча вона прямо не стосується поставленого тут питання.

— Діліп Сарват