Що означає "неупередженість"?

21

Що означає сказати, що "дисперсія - це упереджений оцінювач".
Що означає перетворення упередженої оцінки в неупереджену оцінку за допомогою простої формули. Що саме робить це перетворення?
Також, яке практичне використання цього перетворення? Чи конвертуєте ви ці бали, використовуючи статистику певного виду?

theory unbiased-estimator descriptive-statistics

— upabove
джерело

22

Ви можете знайти все тут . Однак ось коротка відповідь.

Нехай і - середнє значення та дисперсія, що цікавить; Ви бажаєте оцінити на основі вибірки розміру . $\mu$ $\sigma^2$ $\sigma^2$ $n$

Скажімо, ви використовуєте такий оцінювач:

, $S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_{i} - \bar{X})^2$

де - оцінювач. $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ $\mu$

Не надто складно (див. Виноску), щоб побачити, що . $E[S^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2$

Оскільки , кажуть , що оцінювач є упередженим. $E[S^2] \neq \sigma^2$ $S^2$

Але зауважте, що . Тому $E[\frac{n}{n-1} S^2] = \sigma^2$ - неупереджений оцінювач. $\tilde{S}^2 = \frac{n}{n-1} S^2$ $\sigma^2$

Зноска

Почніть з написання а потім розгорніть продукт ... $(X_i - \bar{X})^2 = ((X_i - \mu) + (\mu - \bar{X}))^2$

Відредагуйте, щоб увімкнути свої коментарі

Очікуване значення не дає (а значить, є упередженим), але виявляється, ви можете перетворити в так що очікування дасть . $S^2$ $\sigma^2$ $S^2$ $S^2$ $\tilde{S}^2$ $\sigma^2$

На практиці часто віддають перевагу роботі з замість . Але, якщо досить великий, це не велика проблема, оскільки $\tilde{S}^2$ $S^2$ $n$ . $\frac{n}{n-1} \approx 1$

Зауваження Зауважте, що неупередженість - це властивість оцінки, а не сподівання, як ви писали.

— окрам
джерело

1

Я маю на увазі більше в теоретичному плані. Я можу знайти формулу в будь-якій книзі, але мене більше цікавить пояснення словами. Очікування сигми неупереджене, і ми можемо перетворити оцінку в очікування?

— upabove

також я запитую про практичні аспекти цього, чи використовуєте ви це перетворення під час аналізу?

— upabove

@ocram Що таке

? Це розмір вибірки? Або кількість взятих зразків? Або обоє?

n

$n$

— Quirik

@quirik: Припущення полягає в тому, що береться одна проба і розмір цього зразка n

— окрам

@ocram Як ми можемо обчислити очікуване значення дисперсії, якщо у нас є один зразок? Що я пропускаю?

— Quirik

6

Ця відповідь уточнює відповідь окрам. Основна причина (і загальне непорозуміння) для полягає в тому, що використовує оцінку яка сама оцінюється за даними. $E[S^2] \neq \sigma^2$ $S^2$ $\bar{X}$

Якщо ви працюєте через деривацію, ви побачите, що дисперсія цієї оцінки - саме те, що дає додаткове $E[(\bar{X}-\mu)^2]$ строк $-\frac{\sigma^2}{n}$

— Різкий
джерело

5

$s^2$ $n$ $s^2$ $n-1$

$P(2) = .25$ $P(6) = .75$ $\mu$ $\sigma$ $\mu$ $\sigma$ $n = 3$ $n =3$ $s^2$

Іноді вам треба забруднити руки.

— Адам
джерело

спасибі за вашу допомогу. Кілька питань: У вашому вправі: про який розподіл ви маєте на увазі двочлен? Що ви маєте на увазі скласти дискретну ймовірність? Ви маєте на увазі обчислити всі ймовірності 2 і 6 для різних розмірів вибірки?

— upabove

1

Зазвичай використання "n" в знаменнику дає менші значення, ніж дисперсія популяції, яку ми хочемо оцінити. Особливо це відбувається, якщо брати невеликі зразки. Мовою статистики ми говоримо, що вибіркова дисперсія дає «необ’єктивну» оцінку дисперсії популяції і її потрібно робити «неупередженою».

Це відео відповість на кожну частину вашого питання адекватно.

https://www.youtube.com/watch?v=xslIhnquFoE

— Сахіль Чадхарі
джерело