Чому CDF зразка розподілено рівномірно

Я читав тут , що даний зразок $X_1,X_2,...,X_n$ від безперервного розподілу з cdf $F_X$ , зразок, відповідний $U_i = F_X(X_i)$ відповідає стандартному рівномірному розподілу.

Я підтвердив це, використовуючи якісні симуляції в Python, і мені було легко переконатись у взаємозв'язку.

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats

xs = scipy.stats.norm.rvs(5, 2, 10000)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(9, 3))
axes[0].hist(xs, bins=50)
axes[0].set_title("Samples")
axes[1].hist(
    scipy.stats.norm.cdf(xs, 5, 2),
    bins=50
)
axes[1].set_title("CDF(samples)")

У результаті вийшов наступний сюжет:

Сюжет, що показує вибірку нормального розподілу та cdf вибірки.

Я не можу зрозуміти, чому це відбувається. Я припускаю, що це пов'язане з визначенням CDF та його відношенням до PDF, але я щось пропускаю ...

Я був би вдячний, якби хтось міг вказати мені на деяке читання з цього приводу або допомогти мені зрозуміти цю тему.

EDIT: CDF виглядає так:

CDF вибіркового розподілу

— Максим Тремблей
джерело

Обчисліть cdf

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— Жансіонг

Ви знайдете доказ цієї властивості (для безперервних rv) у будь-якій книзі про моделювання, оскільки це є основою методу зворотного моделювання cdf.

— Сіань

Спробуйте також інтегральне перетворення

— Захарій Блюменфельд

@ Xi'an Добре зазначити, що висновок має місце лише для безперервних випадкових величин. Іноді цей результат помилково використовується для дискретних випадкових величин. З іншого боку, також зазначимо, що багато доказів передбачає етап

в якому передбачається сувора монотонність

, що також є занадто сильним припущенням. Наступне посилання містить суворий підсумок цієї теми: people.math.ethz.ch/~embrecht/ftp/generalized_inverse.pdf

P (F (X) \leq x) = P (X \leq F^{- 1} (x))

$P(F(X) \leq x) = P(X \leq F^{-1}(x))$

F

$F$

— Zhanxiong

@Zhanxiong єдиною умовою, необхідною для

є те, що це càdlàg.

F

$F$

— AdamO

Припустимо, що є безперервним і зростаючим. Визначте і зауважте, що приймає значення в . Тоді $F_X$ $Z = F_X(X)$ $Z$ $[0, 1]$

F_{Z} (x) = P (F_{X} (X) \leq x) = P (X \leq F_{X}^{- 1} (x)) = F_{X} (F_{X}^{- 1} (x)) = x .

$F_Z(x) = P(F_X(X) \leq x) = P(X \leq F_X^{-1}(x)) = F_X(F_X^{-1}(x)) = x.$

$U$ $[0, 1]$

F_{U} (x) = \int_{R} f_{U} (u) d u = \int_{0}^{x} d u = x .

$F_U(x) = \int_R f_U(u)\,du =\int_0^x \,du =x.$

$F_Z(x) = F_U(x)$ $x\in[0, 1]$

— Хунафу
джерело

Звідси випливає, що Z має рівномірний (0, 1) розподіл?

— StatsSorceress

Z

$Z$

(0, 1) .

$(0,1).$

$F(x)$ $F(x)$ $F$ $x$ $F^{-1}$ $x = F^{-1}(p)$ $x$ $p$ $F \circ F^{-1} =_\lambda F^{-1} \circ F$

$F$ $a < b$ $P(F^{-1}(a) < x < F^{-1}(b)) = P(a < F(X) < b) = b-a$

— АдамО
джерело

Y = F (X)

$Y = F(X)$